第一章 二元一次方程组【知识要点】1．二元一次方程:含有两个未知数，且未知项的次数为1，这样的方程叫二元一次方程。

①二元一次方程左右两边的代数式必须是整式；(不是整式的化成整式) ②二元一次方程必须含有两个未知数；③二元一次方程中的“一次”是指含有未知数的项的次数，而不是某个未知数的次数。

2．二元一次方程的解：能使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值叫做二元一次方程的解任何一个二元一次方程都有无数解。

3．二元一次方程组：①由两个或两个以上的整式方程组成，常用“ ”把这些方程联合在一起； ②整个方程组中含有两个不同的未知数，且方程组中同一未知数代表同一数量；③方程组中每个方程经过整理后都是一次方程， 4．二元一次方程组的解：注意：方程组的解满足方程组中的每个方程，而每个方程的解不一定是方程组的解。

5．会检验一对数值是不是一个二元一次方程组的解6．二元一次方程组的解法：（1） 代入消元法 （2）加减消元法 三、理解解二元一次方程组的思想转化消元一元一次方程二元一次方程组四、解二元一次方程组的一般步骤（一）、代入法一般步骤：变形——代入——求解——回代——写解 （二）、加减法一般步骤：变形——加减——求解——代入——写解1.1 二元一次方程组的解法（1）用代入法解二元一次方程组例：解方程组 ⎩⎨⎧=+=+1523y x y x※解题方法：①编号：将方程组进行编号；②变形：从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x （或y ）的代数式表示y （或x ），即变成y=ax+b （或x=ay+b ）的形式；③代入：将y=ax+b （或x=ay+b ）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去y （或x ），得到一个关于x （或y ）的一元一次方程；④求x （或y ）：解这个一元一次方程，求出x （或y ）的值；⑤求y （或x ）：把x （或y ）的值代入y=ax+b （或x=ay+b ）中，求出y （或x ）的值；⑥联立：用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解。

（2）用加减消元法解二元一次方程组 例：解方程组⎩⎨⎧=+=+1523y x y x※解题方法：①编号：将方程组进行编号；②系数相等：根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式；③相加（或相减）：根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；④求值：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；⑤求另值：把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；⑥联立：用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解。

分析我们已经掌握一元一次方程的解法，那么要解二元一次方程组，就应设法将其转化为一元一次方程，为此，就要考虑将一个方程中的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示．方程(2)中x的系数是1，因此，可以先将方程(2)变形为用含y的代数式表示x，再代入方程(1)求解．这种方法叫“代入消元法”．解：由(2)，得x=8-3y． (3)把(3)代入(1)，得： 2(8-3y)+5y=-21，16-6y+5y=-21，-y=-37，所以y=37．点评如果方程组中没有系数是1的未知数，那么就选择系数最简单的未知数来变形．分析此方程组里没有一个未知数的系数是1，但方程(1)中x的系数是2，比较简单，可选择它来变形．解：由(1)，得 2x=8+7y，(3)把(3)代入(2)，得分析本题不仅没有系数是1的未知数，而且也没有一个未知数的系数较简单．经过观察发现，若将两个方程相加，得出一个x，y的系数都是100、常数项是200的方程，而此方程与方程组中的(1)和(2)都同解．这样，就使问题变得比较简单了．解：(1)+(2)，得100x+100y=200，所以x+y=2 (3)解这个方程组．由(3)，得x=2-y (4)把(4)代入(1)，得53(2-y)+47y=112，106-53y+47y=112，-6y=6，所以y=-1．分析经观察发现，(1)和(2)中x的系数都是6，若将两方程相减，便可消去x，只剩关于y的方程，问题便很容易解决、这种方法叫“加减消元法”．解：(1)-(2)，得12y=-36，所以y=-3．把y=-3代入(2)，得：6x-5×(-3)=17，6x=2，所以：点评若方程组中两个方程同一未知数的系数相等，则用减法消元；若同一未知数的系数互为相反数，则用加法消元；若同一未知数的系数有倍数关系，或完全不相等，则可设法将系数的绝对值转化为原系数绝对值的最小公倍数，然后再用加减法消元．在进行加减特别是进行减法运算时，一定要正确处理好符号．分析方程组中，相同未知数的系数没有一样的，也没有互为相反数的．但不难将未知数y的系数绝对值转化为12(4与6的最小公倍数)，然后将两个方程相加便消去了y．解：(1)×3，得9x+12y=48 (3)(2)×2，得10x-12y=66 (4)(3)+(4)，得19x=114，所以x=6．把x=6代入(1)，得3×6+4y=16，4y=-2，点评将x的系数都转化为15(3和5的最小公倍数)，比较起来，变y的系数要简便些．一是因为变y的系数乘的数较小，二是因为变y的系数后是做加法，而变x的系数后要做减法．例6 已知x m-n+1y与-2x n-1y3m-2n-5是同类项，求m和n的值．分析根据同类项的概念，可列出含字母m和n的方程组，从而求出m和n．解：因为x m-n+1y与-2x n-1y3m-2n-5是同类项，所以解这个方程组．整理，得(4)-(3)，得2m=8，所以m=4．把m=4代入(3)，得2n=6，所以n=3．所分析因为x+y=2，所以x=2-y，把它代入方程组，便得出含y，m的新方程组，从而求出m．也可用减法将方程组中的m消去，从而得出含x，y的一个二元一次方程，根据x+y=2这一条件，求出x和y，再去求m．解：将方程组中的两个方程相减，得x+2y=2，即(x+y)+y=2．因为x+y=2，所以2+y=2，所以y=0，于是得x=2．把x=2，y=0代入2x+3y=m，得m=4．把m=4代入m2-2m+1，得m2-2m+1=42-2×4+1=9．例8 已知x+2y=2x+y+1=7x-y，求2x-y的值．分析已知条件是三个都含有x，y的连等代数式，这种连等式可看作是二元一次方程组，这样的方程组可列出三个，我们只要解出其中的一个便可求出x和y，从而使问题得到解决．解：已知条件可转化为整理这个方程组，得解这个方程组．由(3)，得x=y-1 (5)把(5)代入(4)，得5(y-1)-2y-1=0，5y-2y=5+1，所以y=2．把y=2代入(3)，得x-2+1=0，所以x=1．2x-y=0．例9 解方程组分析先从方程组中选出一个方程，如方程（1），用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数，把它代入另一个方程中，得到一个一元一次方程，解这个方程求出一个未知数的值，再代入求另一个未知数的值．解由（1），得，（3）把（3）代入（2）中，得，解得把代入（3）中，得，∴∴是原方程组的解．例10 解方程组分析方程组的两个方程中，同一个未知数的系数既不相等，也不互为相反数时，可以用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等，或互为相反数，再把所得的两个方程相加减就可以消去一个未知数．解（1）×3，得（3）（2）×2，得（4）（3）+（4），得，∴ .把代入（1）中，得，∴是原方程组的解．例11 若方程组的解x、y，满足，求正数m的取值范围．解由可解得又∵，∴ ，∴∴满足条件的m的范围是.例12 解方程组分析：由于方程（1）和（2）中同一字母（未知数）表示同一个数，因此将（1）中的值代入（2）中就可消去，从而转化为关于的一元一次方程．解：将（1）代入（2），得，解得，．把代入（1）得，∴方程组的解为例13解方程组解：由（1）得（3）把（3）代入（2），得，解得．把代入（3），得，解得．∴方程组的解为说明：将作为一个整体代入消元，这种方法称为整体代入法，本题把看作一个整体代入消元比把（1）变形为再代入（2）简单得多．1.2 二元一次方程组的应用学习目标：1．能够借助二元一次方程组解决简单的实际问题，再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用2．进一步使用代数中的方程去反映现实世界中等量关系，体会代数方法的优越性3．体会列方程组比列一元一次方程容易4．进一步培养化实际问题为数学问题的能力和分析问题，解决问题的能力5．掌握列方程组解应用题的一般步骤；重点：1．经历和体验用二元一次方程组解决实际问题的过程。

2．进一步体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型。

难点：正确找出问题中的两个等量关系知识要点梳理知识点一：列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系. 一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等. 知识点二：列方程组解应用题中常用的基本等量关系1.行程问题：(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。

这类问题比较直观，画线段,用图便于理解与分析。

其等量关系式是:两者的行程差＝开始时两者相距的路程；；；(2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。

这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析。

这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和＝总路程。

(3)航行问题：①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度；②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度；③顺水速度－逆水速度＝2×水速。

注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。

2．工程问题：工作效率×工作时间=工作量.3．商品销售利润问题：(1)利润＝售价－成本(进价)；(2)；(3)利润＝成本（进价）×利润率；(4)标价＝成本(进价)×(1＋利润率)；(5)实际售价＝标价×打折率；注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。

打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。

（例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十）4．储蓄问题：(1)基本概念①本金：顾客存入银行的钱叫做本金。

②利息：银行付给顾客的酬金叫做利息。