江西省临川一中2020届高三下学期第一次联考数 学（文科）满分：150时间：120分钟一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集}8,7,6,5,4,3,2,1{=I ，}4,3,2,1{=A ，}6,5,4,3{=B ，则(∁I )A I (∁=)B I （ ） A ．}8,7{B ．}4,3{C ．}8,7,4,3{D ．}6,5{2．已知复数z 满足)2()1(i z i +=+，则=||z （ ）A ．310B ．52 C ．510 D ．610 3．下列命题中，是假命题的是（ ）A ．若c a b a ⋅=⋅，则)-(c b a ⊥B ．R x ∈∀，0332>+-x x C ．函数|cos sin |)(x x x f +=的最小正周期为π2 D ．323log 2=4．下图中，样本容量均为9的四组数据，它们的平均数都是5，条形统计图如下，则其中标准差最大的一组是（ ）5．已知单位圆上第一象限一点P 沿圆周逆时针旋转3π到点Q ，若点Q 的横坐标为－21，则点P 的横坐标为（ ） A ．31 B ．21 C ．22D ．23 6．函数x e y xsin =的大致图像为（ ）7．程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作．卷八中第33问：“今有三角果一垛，底阔每面 七个．问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图， 求得该垛果子的总数S 为（ ） A ．28B ．56C ．84D ．1208．已知平面向量,满足1||||==，21=⋅，若)(21+=， b a d )1(λλ-+=，)(R ∈λ，则d c ⋅的值为（ ）A ．31B ．23 C ．43D ．与λ有关9．己知双曲线)0(1:222>=-b b y x C ，)0,(c F 为双曲线的右焦点，过⎪⎭⎫⎝⎛0,23c M 作斜率为2的直线与双曲线的两条渐近线分别交于B A ,两点，若F 为OAB ∆的内心，则双曲线 方程为（ ） A ．1422=-y xB ．1222=-y xC ．1322=-y xD ．1422=-y x10．己知函数)(x f 是定义在R 上的单调减函数且为奇函数，数列}{n a 是等差数列，且01010>a ，则)()()()()(20192018321a f a f a f a f a f +++++Λ的值（ ）A ．恒为负数B ．恒为正数C ．恒为0D ．可正可负11．己知ea 3=，3e b =，则下列选项正确的是（ ）A ．b a >B ．e ba <+2lnC ．e ba ab>+2lnD ．e ba <+2ln ln 12．已知直角三角形ABC 中1=AC ，3=BC ，斜边AB 上两点M ，N ，满足︒=∠30MCN ，则MCN S ∆的最小值是（ ）A ．43 B ．83 C ．2336- D ．4336-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13．=︒︒15sin 15cos ．14．已知⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=0,10,22)(x xx x x f ，若a a f >)2(，则实数a 的解集是 ．15．已知直线1-=kx y 与焦点在x 轴上的椭圆)0(14:222>=+b by x C 总有公共点，则椭圆 C 的离心率取值范围是 ．16．己知三棱锥ABC P -中，满足1==BC PA ，3==AB PC ，2=AC ，则当三棱锥体积最大时，直线AC 与PB 夹角的余弦值是 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（12分）某社会机构为了调查对手机游戏的兴趣与年龄的关系，通过问卷调查，整理数据得如下 2×2（1）根据列联表，能否有99.9%的把握认为对手机游戏的兴趣程度与年龄有关？ （2）若已经从40岁以下的被调查者中用分层抽样的方式抽取了5名，现从这5名被调（注：参考公式：))()()(()(22c ad b d c b a bc ad n K ++++-=，其中d c b a n +++=）18．（12分）已知非零数列}{n a 满足11=a ，1211+=+nn a a ； （1）证明：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n a 为等比数列，并求}{n a 的通项公式； （2）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 的前n 项和n S ．19．（12分）己知棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，N M F E ,,,分别为棱1111C D DD BB 和D A 1的中点，（1）证明：//MN 平面1EFC ； （2）求点1A 到平面1EFC 的距离． 20．（12分）己知函数1ln sin )(-+=x x x f（1）求函数)(x f 在⎪⎭⎫⎝⎛2ln ,2ππ处的切线方程；（2）当),0(π∈x 时，讨论函数)(x f 的零点个数．21．（12分）己知圆)1()1(:222>=-+r r y x C ，设点A 为圆C 与y 轴负半轴的交点，点P 为圆C 上一点，且满足AP 的中点在x 轴上．（1）当r 变化时，求点P 的轨迹方程；（2）设点P 的轨迹为曲线E ，M ，N 为曲线E 上两个不同的点，且在M ，N 两点处的切线的交点在直线2-=y 上，证明：直线MN 过定点，并求此定点坐标．（二）选考题：请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin 3cos 2t y t x （t 为参数，α为直线l 的倾斜角），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4sin 22πθρ．（1）写出曲线C 的直角坐标方程，并求3πα=时直线l 的普通方程；（2）若直线l 和曲线C 交于两点B A ,，点P 的直角坐标为)3,2(，求||||PB PA +的最大值．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知+∈R c b a ,,，且1=++c b a ．证明：（1）411≥++c b a ； （2）3212121≥+++++ac c b b a ．数学（文科）参考答案一、选择题11．解析．对于选项A ：构造函数x x y ln =，则2ln 1'xxy -=，所以函数在),(+∞e 上单调递 减，所以33ln ln >e e ，即3ln ln 3e e >，即e e 3ln ln 3>，即ee 33>，故A 错； 对于选项B ：由A 可得e e e e ee e >==+>+3ln 3ln 233ln 23ln 3，故B 错；对于选项D ：e e e e ee e >==+>+3ln 3ln 23ln 3ln 2ln 3ln 3，故D 错；对于选项C ：e e e b a e ee e >==+>+=+3ln 3ln 31312ln 1312ln 112ln 3，故C 正确．12．解析（法一）：设x CM =，y CN =，MCN S ∆记为S ，则在MCN ∆中有xy xy S 4130sin 21==ο，即S xy 4= 在ACB ∆中，点C 到斜边的距离为23=d ，故||43||21MN MN d S =⋅=， 即34||S MN =由余弦定理可得：xy xy xy y x xy y x MN o 32330cos 222222-≥-+=-+=即S S 4)32(342⋅-≥⎪⎭⎫⎝⎛，可得4336-≥S 故选D ．（法二）：设θ=∠ACM ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,0πθ，x CM =，y CN =则在ACM ∆和BCN ∆中，由正弦定理可得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-6sin 2sin 3sin 32sin πθππθπCN CB CM CA ，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==⎪⎭⎫ ⎝⎛-21cos 32332sin 1y x θθπ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθπcos 2332sin 23y x 所以3432sin 83cos 32sin 43416sin 21+⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛-⋅==πθθθππxy S⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,0πθΘ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+∴πππθ,332 ∴面积的最小值为43363483-=+=S ，故选D ．二、选择题 13．32+14．()⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∞-,320,Y15．⎥⎦⎤ ⎝⎛23,0 16．510 16．解析：如右图所示，当平面⊥PAC 平面ABC 时，三棱锥PAC 体积最大，过P 作PE //=AC ，过点P 作AC PD ⊥， AC EF ⊥，则23==EF PD ，21=AD ，所以 472332123412=⋅⋅⋅-+=BD ，则2547432=+=BP ，472112121412=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅⋅-+=BF ， 则2547432=+=BE ， 所以510252225425cos =⋅⋅-+=∠BPE三、解答题17．（1）828.101110055455050)3001050(10022<=⨯⨯⨯-⨯=k ……………………4分∴没有99.9%的把握认为手机游戏的兴趣程度与年龄有关．…………6分（2）由题得40岁以下的被调查者中用分层抽样的方式抽取的5名人员中有3名对手机游戏很有兴趣，设为a 、b 、c ；有2名对手机游戏无兴趣，设为d 、e ，从a 、b 、c 、d 、e 中随机选取3名的基本事件有},,{c b a 、},,{d b a 、},,{e b a 、},,{d c a 、 },,{e c a 、},,{e d a 、},,{d c b 、},,{e c b 、},,{e d b 、},,{e d c 共10个．……………………8分其中d ，e 恰有1个的有},,{d b a 、},,{e b a 、},,{d c a 、},,{e c a 、},,{d c b 、},,{e c b 共6个．∴这3名被调查者中恰有1名对手机游戏无兴趣的概率为53．…12分 18．解:（1）依题意：nn a a 2111+=+，所以211111=+++nn a a ， 即数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n a 为等比2=q 的等比数列……………………3分 所以1121111-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n a a ，可得121-=n n a ， 所以121-=n n a ……………………6分 （2）由（1）可知n n a nn n-⋅=2， 令n n n T 223222132⋅++⋅+⋅+⋅=Λ， 则143222322212+⋅++⋅+⋅+⋅=n n n T Λ，所以1221)21(2222212+⋅---=⋅-++=-+n n n n n n n T Λ ………………9分即12)1(2+⋅-+=n n n T ，……………………10分 所以22)1(221n n n S n n +-⋅-+=+……………………12分19．（1）证法（一）如图连结1AC 交EF 于点G ，则点G 为1AC 的中点，连结1AD ，NGN Θ为1AD 的中点， NG ∴为11D AC ∆的中位线11||D C NG ∴，1121D C NG =， M Θ为11D C 的中点M C NG 1||∴，M C NG 1=∴四边形M NGC 1为平行四边形， G C MN 1||∴， ⊂/MN Θ平面1EFC ，⊆G C 1平面1EFC||MN ∴平面1EFC……………………6分证法（二）如图取1CC 中点P ，连接AF ，AE ，FP ，PB ，因为正方体1111D C B A ABCD -，P F E ,,分别为 111,,CC DD BB 中点，所以可得四边形E BPC 1和四边形ABPF 均为平行四边形，所以1////EC BP AF ，所以平面1EFC 即为平行四边形F AEC 1所在平面，因为N 为D A 1的中点，所以也为1AD 中点，且M为11D C 中点，所以MN //=121AC ，||MN ∴平面1EFC ． ……………6分 （2）解法（一）延长1DD 至点O ，使得O D DD 112=，连结O A 1，则||1O A 平面1EFC ，则A 到平面1EFC 的距离即O 到平面1EFC 的距离211=∆F OC S ，点E 到平面F OC 1的距离为1，461=∆EF C S设1A 到平面1EFC 的距离为h ，则F OC E EFC O EFC A V V V l 111---==，即463121131⋅⋅=⋅⋅h可得36=h ，即点1A 到平面1EFC 的距离为36……………………12分解法（2）由证法二知点1A 到平面1EFC 的距离为点1A 到平面F AEC 1的距离， 所以AF A E A V V AEF 11-=-，且4623221=⨯⨯=AEF S ，211=AF A S ，所以1A 到平面1EFC 的距离为36462111==⨯AEF AF A S S ……………………12分20．解：（1）因为x x x f 1cos )('+=，所以ππ22'=⎪⎭⎫ ⎝⎛=f k ，所求切线方程为：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-222lnπππx y ， 即12ln2-+=ππx y ．……………………4分（2）x x x f 1cos )('+=Θ，∴当⎥⎦⎤⎝⎛∈2,0πx 时，0)('>x f ， 则)(x f 在⎥⎦⎤⎝⎛2,0π单调递增，且02ln 2>-=⎪⎭⎫ ⎝⎛ππf ，0216ln 6<-=⎪⎭⎫⎝⎛ππf ，所以)(x f 在⎥⎦⎤⎝⎛2,0π内有唯一零点．……………………6分当⎪⎭⎫⎝⎛∈ππ,2x 时， 由01sin )(2<--=''x x x f ，知)(x f '在⎪⎭⎫⎝⎛ππ,2单调递减，且022>=⎪⎭⎫ ⎝⎛'ππf ，011)(<+-='ππf ，知存在唯一⎪⎭⎫⎝⎛∈ππ,20x 使得0)(0='x f ， ……………………9分当⎪⎭⎫⎝⎛∈0,2x x π时0)(>'x f ，)(x f 单调递增； 当),(0πx x ∈时，0)(<'x f ，)(x f 单调递减且02>⎪⎭⎫⎝⎛πf ，01ln )(>-=ππf ，所以)(x f 在⎪⎭⎫⎝⎛ππ,2无零点， ……………………11分综上可知)(x f 在区间),0(π内有且只有一个零点………………12分21．解：（1）依题意)1,0(r A -，设),(y x P ，则弦AP 中点⎪⎭⎫⎝⎛0,2x D ， 由0=⋅DP CD 得0,21,2=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x x， 即)0(42>=y y x……………………6分（2）设),(11y x M ，),(22y x N ，依题意可设抛物线在M ，N 两点处的切线交点为)2,(0-x Q ， 直线MN 的方程为b kx y +=，易求抛物线在点M 处的切线为)(21111x x x y y -=-，即2114121x x x y -=，抛物线在点N 处的切线为)(21222x x x y y -=-，即2224121x x x y -=，所以⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=--=-22022*********1212x x x x x x ，……………………8分即21,x x 为方程2041212x x x -=-，即02214102=--x x x 的两个根，所以821-=⋅x x ，……………………10分且⎩⎨⎧+==bkx y y x 42可得0442=--b kr x ， 所以b x x 421-=⋅，即2=b ， 所以直线MN 过点)2,0(．……………………12分22 ．（1）因为θθπθρcos 2sin 24sin 22+=⎪⎭⎫⎝⎛+=， 得θρθρρcos 2sin 22+=，……………………2分∴曲线C 的直角坐标方程为02222=--+y x y x ． ……………………3分当3πα=时，直线l 过定点)3,2(，斜率3=k ．∴直线l 的普通方程为，即03323=+--y x ；……………………5分（2）把直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin 3cos 2t y t x 代入02222=--+y x y x ，得03)sin 4cos 2(2=+++t t αα． ……………………6分设B A 、的参数分别为21,t t ，11 所以3),sin 4cos 2(2121=⋅+-=+t t t t αα，则1t 与2t 同号，012)sin 4cos 2(2>-+=∆αα， 得32sin 4cos 2>+αα或32sin 4cos 2-<+αα． ………………8分 52|)sin(52||sin 4cos 2|||||||21≤+=+=+=+∴θαααt t PB PA ， ||||PB PA +∴的最大值为52．……………………10分 23．证明：（1）因为+∈R c b a ,,，且4211)(≥++++=⎪⎭⎫⎝⎛++⋅++a c b c b a c b a c b a ， 又因为1=++c b a ，所以411≥++cb a ． ……………………5分 （2）令b a x 2+=，c b y 2+=，b c z 2+=，则3=++z y x ，且+∈R z y x ,,， 所以zy x a c c b b a 111212121++=+++++， 而=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++z y x z y x 111)(313331≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++y z x z z y x y z x y x ． ……………………10分。