23322233⎩⎨⎧≥+-≤-05302y x y x nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1)(21OF OP OQ +=2020届临川一中高三模拟考试 理数试卷第一卷（选择题，共60分）一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数,2i z -=则zz 10+等于（ ） A. i -2 B. i +2 C.i 24+ D.i 36+2.设全集U = R ，A = {x |x - 2x + 1＜0}，B = {y | y = cos x ，x ∈A }，则A ∩B =( ) A.( cos2，1] C.(- 1，2 )B.[cos2，1] D.(- 1，cos2 ]3.已知 | a | = 5，| b | = 5，a ·b = - 3，则 | a + b | =( )A.23B.35C.2 11D.354.对任意非零实数b a ,，若b a *的运算原理如图所示，那么=*⎰πsin 2xdx （ ）A. B.C. D.5.某项测量中，测量结果X ~)0)(,1(2>σσN ，若X 在)1,0(内取的概率为4.0，则X 在)2,0(內取值的概率为（ ）A. 8.0B. 4.0C. 3.0D.2.06. ,0,0>>b a 设则“122≥+b a ”是“1+≥+ab b a ”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D.既不充分也不必要7.已知的展开式中的第五项为常数项，则展开式中各项的二项式系数之和为（ ） A.128 B.64 C. 32 D.168.已知正数y x ,满足，则1log log 22++=y x z 的最大值为（ ） A.8 B.4 C. 2 D. 19.已知双曲线 上一点P 到F （3，0）的距离为6，O 为坐标原点，则15422=-y x=OQ （ ）A. 1B. 2C. 2或5D.1或5 10.已知函数)0)(sin(2)(>+=ωϕωx x f 的图像关于直线对称，且，则ω的最小值是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 11.12． 已知x xxx f ln 1ln )(-+=，)(x f 在0x x =处取得最大值，以下各式正确的序号为（ ） ①00)(x x f <；②00)(x x f =；③00)(x x f >；④ 21)(0<x f ；⑤21)(0>x f .A ．①④B ．②④C ． ②⑤D ．③⑤第二卷（非选择题，共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡上.13.若焦点在x 轴上的椭圆 的离心率为 ，则 ．14.已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且AB = 2，AC = 3，则cos C 的值是 ．15.在矩形ABCD 中，AB = 4，BC = 3，沿对角线AC 把矩形折成二面角D -AC -B 的平面角为060时，则=BD ．16.已知数列{}n a 的通项公式为,15+=n n a 数列{}n c 的通项公式为nn n a c )2(-+=λ，若数列{}n c 递增，则λ的取值范围是 .三、解答题:（共计70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选做题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分.17.(本小题满分12分)已知函数f (x ) = cos 2(x + π12)，g (x ) = 1 + 12 sin 2x .(1) 设x = x 0是函数y = f (x )图像的一条对称轴，求g (2x 0)的值； (2) 求函数h (x ) = f (x ) + g (x )，x ∈[ 0 , π4]的值域.1222=+my x 213π=x 0)12(=πf18．(本小题满分12分)某名校从2008年到2017年考入清华，北大的人数可以通过以下表格反映出来。

（为了方便计算，将2008年编号为1，2009年编为2，以此类推。

）年份x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 人数y 89910122429212016（1）从这10年的数据中随机抽取2年，记其中考入清华、北大的人数不少于20的有年，求的分布列和数学期望；（2）根据最近5年的数据，利用最小二乘法求出y 与x 之间的线性回归方程，并用以预测2018年该校考入清华、北大的人数。

（结果要求四舍五入至个位）参考公式：∑∑∑∑====⋅-⋅-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=ni i ni i i n i i ni i x n x y x n y x xb y a x x x x b 122111)()(.855,106=∑=i i i y x 19. (本小题满分12分)如图：长为3的线段PQ 与边长为2的正方形ABCD 垂直相交于其中心O （PO>OQ ）.（1）若二面角P-AB-Q 的正切值为－3，试确定O 在线段PQ 的位置；（2）在（1）的前提下，以P ，A ，B ，C ，D ，Q 为顶点的几何体PABCDQ 是否存在内切球？若存在，试确定其内切球心的具体位置；若不存在，请说明理由.20. (本小题满分12分) 已知：函数)0()1ln(1)(>++=x txx x f .（1）此函数在点))1(,1(--e f e 处的切线与直线020)1()1(2=-++-x e ey e 平行，求实数的值；（2）在（1）的条件下，若)0(,1)(>+>x x kx f （）恒成立，求k 的最大值.21. (本小题满分12分)已知曲线C 是中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的右支，它的离心率刚好是其对应双曲线的实轴长，且一条渐近线方程是x y 3=，线段PQ 是过曲线C 右焦点F 的一条弦，R 是弦PQ 的中点。

(1) 求曲线C 的方程;(3)若作出直线)21(,:≤=t t x m ，使点R 在直线m 上的射影S 满足0=⋅QS PS .当点P 在曲线C 上运动时，求t 的取值范围. 【参考公式：若),(00y x T 为双曲线12222=+by a x （+∈R b a ,）右支上的点，F 为右焦点，则a ex TF -=0).（e 为离心率）】（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答同，如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xoy 中，曲线的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y tx 224223（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1） 求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）设P （4，3）且曲线和曲线的交点为A ，B.求的值. 23.[ 选修4-5：不等式选讲] 已知函数（1）若且的最大值为，求实数的值；（2）若不等式的解集非空，求实数a 取值范围.2020届临川一中高三模拟考试 理数试卷答案一、选择题:1．D 2．A 3.C 4.C 5.A 6.B 7.B 8.C 9.D 10.B 11.D 12.B 二、填空题: 13．2314.63 15．5193 16.⎪⎭⎫ ⎝⎛-325,310三、解答题:本大题共6小题，共计74分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.17.解：(1) f (x ) = cos 2(x + π12) = 1 + cos(2x + π6 )2. (2分)由于x = x 0是f (x )图像的一条对称轴，∴cos(2x 0 + π6 ) = ±1.∴2x 0 + π6= k π，k ∈Z ，g (2x 0) = 1 + 12 sin (2k π - π3 ) = 1 -34. (6分) (2) h (x ) = f (x ) + g (x ) = 32 + 12 sin 2x + 12 cos(2x + π6 )= 32 + 12 sin 2x + 12×32 cos 2x - 12×12sin2x= 32 + 14 sin 2x + 34 cos 2x = 32 + 12 sin (2x + π3 ). (9分) ∵0≤x ≤π4，∴π3≤2x + π3≤5π6，∴12≤sin (2x + π3 )≤1，即74≤h (x )≤2. ∴h (x )的值域为[ 74 , 2]. (12分) 18．（1）的分布列X0 1 2P数学期望（2）y 与x 之间的线性回归方程425.2+-=x y ，预测2018年该校考入清华，北大的人数为15人。

19．解：（1）取线段AB 的中点为点E,则3tan -=∠PEQ设α=∠PEO ，β=∠QEO ,x OP =，x OQ -=3 故x =αtan ，x -=3tan β 由3tan tan 1tan tan )tan(tan -=⋅-+=+=∠βαβαβαPEQ ,得：0232=+-x x∵PO>OQ ∴2==x OP故O 在线段PQ 上的靠近Q 点的三分点位置; （2）几何体PABCDQ 存在内切球,令球心为O '， 设线段CD 的中点为点F,内切球的半径为r ，由对称性可知：平面四边形PEQF 的内切圆的半径即为r ,故)22(2121QE PE r PQ EF S PEQF +=⋅=所以)2252(213221+=⨯⨯r ,得25-=r 由三角形相似有：55sin =∠='EPO O P r 所以1055-=='r O P 故其内切球心O '在点P 距离为105-的位置上. （注：也可用分割体积法求r ）20.（1），的最大值为k ∴ 3.Z k ∈Θ，的最大值为k ∴ 3.21.解：(1)曲线C 的方程是：)1(1322≥=-x y x (2)由(1)知，曲线C 的右焦点F 的坐标为(2,0)，若弦PQ 的斜率存在， 则弦PQ 的方程为： y=k (x-2)，代入双曲线方程得：0344)3(2222=--+-k x k x k设点P(x 1, y 1)，Q( x 2, y 2)，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-+-=>--=+>∆,0334,034022212221k k x x k k x x 由解得：32>k ，点R 到y 轴距离： 2362322||22221>-+=-=+=k k k x x x R而当弦PQ 的斜率不存在时，点R 到y 轴距离||R x =2。

所以点R 到y 轴距离的最小值为2. (3)∵点R 在直线m 上的射影S 满足QS PS ⋅=0，∴QS PS ⊥,t x PQ RS t t x m R R -==≤=∴2)21(:的距离到直线……①由焦半径公式a ex TF -=0||||||QF PF PQ +=∴ )1(221-+=x x =4x R -2 ………②将②代入①，得：t x x R R -=-1221,21≤≥-=∴t t x R , .1-≤∴t（二）选考题：22. （1）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程+；（2）曲线1C ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y tx 223224代入0622=-+y y x 得：则==.23.（1），（2）由题意得：，或。