平行线间
的距离公式
点到直线的距离公式 一般地，点 P(x0，y0) 到直线 l：Ax＋By＋C＝0
的距离 d 的公式是
d | Ax0 By0 C | A2 B2
在使用该公式前，须将直线方程化为一般 式A．=0或B=0时，此公式也成立．
求平行线 2x–7y＋8＝0 和 2x–7y–6＝0 的距离． 解：在直线 2x–7y–6＝0 上任取一点，如P(3，0) ，
求平行线 x＋3y–4＝0 和 2x＋6y–9＝0 的距离． 解：将两方程中 x、y的系数化成对应相等的形式，得
2x＋6y–8＝0 和 2x＋6y–9＝0 因此， d | 8 9 | 10 ．
22 62 20
求平行线 2x＋3y＋4＝0 和 4x＋6y–5＝0 的距离．
求与直线3x–4y–20＝0平行且距离为3的直线方程． 解：根据题意，可设所求直线方程为3x–4y+m＝0，
则两条平行线的距离就是
点 P(3，0) 到直线2x–7y＋8＝0的距离．
因此，
y
d | 23708| 22 (7)2
–4
14 53 ． 53ຫໍສະໝຸດ 2 1 O 12 3 x求平行线 2x＋3y＋4＝0 和 4x＋6y–5＝0 的距离．
y P l1 怎样求任意两条平行线的距离呢？
Q l2
Ax0 By0 C1
PQ C1 C2 A2 B2
两条平行线的距离公式 一般地，两条平行线l1：Ax＋By＋C1＝0 和l2：
Ax＋By＋C2＝0 间的距离 d 的公式是
d | C1 C2 | A2 B2
用两平行线间距离公式须将方程中x、y的系数 化为对应相同的形式。
所以PP ′⊥l，点P和P ′到直线l 的距离相等.
设P ′(a，b)
b 0 ( 5) 1
则 a4 4
5a 4b 21 5 4 21
解之
a b

6 8

52 42
52 42
所有对称点为P ′(–6，–8）．
还其他 思路吗？
求点A(1，1)关于直线l：x＋y–3＝0的对称点A ′的坐 标．
由| 20 m | 3 解得 m 5或m 35.
32 42
故直线方程为3x–4y–5＝0或3x–4y–35=0.
求与平行线2x＋3y–3＝0和2x＋3y–9＝0平行且等距离 的直线方程．
求点P(4，0)关于直线l：5x＋4y＋21＝0的对称点P ′的
坐标．
解：因为点P和P ′关于直线l 对称，
O
x 任意两条平行直线可写成如下形式：
l1 :Ax+By+C1=0
l2 :Ax+By+C2=0
在直线 l1上任取一点Px0, y0 ,过点P作直线 l2的垂线,垂足为Q.
则点P到直线l2的距离为:
PQ

Ax0 By0 C2 A2 B2
点P在直线l1上， Ax0 By0 C1 0
点到直线距离公式：
d Ax0 By0 C A2 B2
用该公式时应先将直线方程化为一般式.
两平行直线间的距离公式：
d C2 C1 A2 B2
用该公式时应先将两平行线的x，y的系数整理 为对应相等的形式。
今天你学了哪些知识？ 哪些你认为值得注意？