3.3.3 --3.3.4点到直线的距离、两条平行直线间的距离（教学设计）
教学目标：
1.知识与技能：
1）理解点到直线距离公式的推导，
2）熟练掌握点到直线的距离公式，会求两条平行直线间距离；
2.过程与方法
经历两点间距离公式的推导过程，会用点到直线距离公式求解两平行线距离 3.情感、态度与价值观：
认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题
教学重点、难点
重点：点到直线的距离公式.
难点：点到直线距离公式的理解与应用.
教学过程
（一）创设情境，导入新课
前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的交点问题，两点间的距离公式。
逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离。
用POWERPOINT 打出平面直角坐标系中两直线，进行移动，使学生回顾两直线的位置关系，且在直线上取两点，让学生指出两点间的距离公式，复习前面所学。
要求学生思考一点到直线的距离计算？能否用两点间距离公式进行推导？
（二） 师生互动，探究新知
1．点到直线距离公式及其推导：
点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：2200B A C By Ax d +++=
（1）提出问题
在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为),(00y x ，直线方程中A ＝0或B ＝0时，，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离呢?
学生可自由讨论。
（2）数行结合，分析问题，提出解决方案
学生已有了点到直线的距离的概念，即由点P 到直线l 的距离d 是点P 到直线l 的垂线段的长.
这里体现了“画归”思想方法，把一个新问题转化为 一个曾经解决过的问题，一个自己熟悉的问题。
画出图形，分析任务，理清思路，解决问题。
方案一：
设点P 到直线l 的垂线段为PQ ，垂足为Q ，由PQ ⊥l 可知，直线PQ 的斜率为A
B （A ≠0），根据点斜式写出直线PQ 的方程，并由l 与PQ 的方程求出点Q 的坐标；由此根据两点距离公式求出｜PQ ｜，得到点P 到直线l 的距离为d
此方法虽思路自然，但运算较繁.下面我们探讨别一种方法
方案二：设A ≠0，B ≠0，这时l 与x 轴、y 轴都相交，过点P 作x 轴的平行线，交l 于点),(01y x R ；作y 轴的平行线，交l 于点),(20y x S ，
由⎩⎨⎧=++=++0020011C By Ax C By x A 得
B C
Ax y A C By x --=--=0201,.
所以，｜P Ｒ｜＝｜10x x -｜＝A C
By Ax ++00
｜PS ｜＝｜20y y -｜＝B C By Ax ++00
｜ＲS ｜＝AB B A PS PR 2
222+=+×｜C By Ax ++00｜
由三角形面积公式可知：d ·｜ＲS ｜＝｜P Ｒ｜·｜PS ｜ 所以2200B A C
By Ax d +++=
可证明，当A=0时仍适用
（三）公式识别，巩固提高.
例1（课本P107例5） 求点P=（-1，2）到直线 3x=2的距离。
解：
53=
变式训练1（课本P108练习NO ：1；2）
例2（课本P107例6） 已知点A （1，3），B （3，1），C （-1，0），求三角形ABC 的面积。
解：设AB 边上的高为h ，则
S ABC =1
2AB h •
AB ==
AB 边上的高h 就是点C 到AB 的距离.
AB 边所在直线方程为311331y X --=--
即x+y-4=0。
点C 到X+Y-4=0的距离为
h=2104
11-+-=+ 因此，
S=152⨯= 通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性。
例3 求两平行线1l ：0832=-+y x ，2l ：01032=-+y x 的距离.
解法1：在直线1l 上取一点P (４，0)，
因为1l ∥2l ，所以点P 到2l 的距离等于1l 与2l 的距离.于是
1313
21323210
034222==++⨯-⨯=d 新问题：平行直线间距离如何求？。
已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，
2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为222
1B A C C d +-=
证明：设),(000y x P 是直线02=++C By Ax 上任一点，则点P 0到直线01=++C By Ax 的距离为221
00B A C By Ax d +++=
又 0200=++C By Ax
即200C By Ax -=+，∴d ＝222
1B A C C +-
上述例3的解法2：1l ∥2l 又10,821-=-=C C .
由两平行线间的距离公式得13
3232)
10(822=+---=d 变式训练3：（1）（课本P108例7）已知直线12:2780,:62110l x y l x y --=--=，1l 与2l 是否平行？若平行，求1l 与2l 间的距离。
分析：两直线是否平行就看其斜率是否相等。
若平行，1l 与2l 间的距离可利用上例的方法求得。
生：（讨论后解答）解：1l 的斜率12
7k =，2l 的斜率262
217k ==，即：12k k =
所以1l ∥2l 。
在直线1l 上任取一点A （4，0），
点A （4，0）到直线2l 的距离为：
d ===
所以1l 与2l
（2）（课本P109练习NO ：1）
例4：(tb2509501)两条直线L 1：ax-by+4=0和L 2：(a-1)x+y+b=0，求满足下列条件的a,b 的值：
(1) 直线L 1⊥L 2且L 1过点(-3,-1)；
(2) 直线L 1//L 2且坐标的原到这两条直线的距离相等。
（答：（1）a=2,b=2；（2）a=2,b=2或a=32
,b=2）
变式训练4：(tb1808205)直线L 的方程是y=3x-4，试求直线L 1的方程，使L 与L 1：
（1）关于x 轴对称；（2）关于y 轴对称；（3）关于原点对称；（4）关于直线y=x 对称。
（答：（1）y= -3x+4；（2）y= -3x-4 ；(3) y=3x+4；(4) x=3y-4）
（四）课堂小结，巩固反思： 点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式
（五）课时必记：
1、点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：2200B A C
By Ax d +++=
2、已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax ，
则1l 与2l 的距离为222
1B A C C d +-=
特别注意：x 与y 的系数应化为相等。
（六）布置作业
A组：
1、（课本P109习题3.3 A组：NO：9）
2、（课本P109习题3.3 A组：NO：10）
3、（课本P114复习参考题A组：NO：10）
4、（课本P114复习参考题A组：NO：11）
B组：
1、（课本P109习题3.3 A组：NO：2）
2、（课本P109习题3.3 A组：NO：4）
3、（课本P109习题3.3 A组：NO：9）
4、（课本P114复习参考题B组：NO：4）
5、（课本P114复习参考题B组：NO：10）。