rc = OC =
质点系
mi
∑m r
i =1 n
n
r ri
c质心
6
i i
∑m
i =1
i
o
r rc
rc = OC =
∑m r
i =1 n
n
i i
∑m
i =1
i
∑ mi xi xC = ∑ mi ∑ mi yi 分量式： 分量式： yC = ∑ mi 少数几个质点 zC = ∑ mi zi ∑ mi
2. 靠码头的小船会因人上岸而离岸后退，为防止，应在岸上将船栓住。 靠码头的小船会因人上岸而离岸后退，为防止，应在岸上将船栓住。
13
理论力学
质点组力学
均质曲柄AB长为 质量为m 长为r, 例2-5 均质曲柄 长为 ,质量为 1,假设受力偶作用以不 转动， 变的角速度ω转动，并带动滑槽连杆以及与它固连的活塞D， 如图所示。滑槽、连杆、活塞总质量为 如图所示。滑槽、连杆、活塞总质量为m2,质心在点C。在 活塞上作用一恒力F。不计摩擦及滑块 的质量 的质量。 活塞上作用一恒力 。不计摩擦及滑块B的质量。 求：作用在曲柄轴A处的最 作用在曲柄轴 处的最 大水平约束力Fx。
dp d = ∑( mi vi ) = ∑ Fi (e ) 或 dp = ∑ Fi (e ) dt 16 即质点组动量定理： 即质点组动量定理： dt dt
理论力学
即得质点组动量定理： 即得质点组动量定理：
质点组力学
dp d = dt dt
∑mv
i =1 i
n i =1
n
n
i
=
∑
=
=
n
i =1
n
y A l l
ϕ
B
x
O
消去t得轨迹方程
10
理论力学
（3） 质心运动定理
rc = OC =
质点组力学
∑m r
i =1 n n i i
由质心的定义： 由质心的定义： 两次求导： 两次求导： 或
∑m
i =1
得
i
mrC = ∑ mi ri
dv C d mvC = ∑ mi vi ⇒ m = (∑ mi vi ) ∑ Fi (e ) = dt dt d 2 rC 质心运动定 m 2 = ∑ Fi (e ) 理 dt
(1)牛顿第三定律： f ij + f ji = 0 F 牛顿第三定律： 牛顿第三定律 质点组中各内力的矢量和恒为零。 质点组中各内力的矢量和恒为零。 (2)牛顿第二定律 牛顿第二定律. 牛顿第二定律 孤立系（闭合系）：不受任何外力的质点组。 ）：不受任何外力的质点组 4. 孤立系（闭合系）：不受任何外力的质点组。
该式表明质心的运动如同将外力、质量都集中于质心的质点的运动。 该式表明质心的运动如同将外力、质量都集中于质心的质点的运动。 质心的运动如同将外力 质心是一个特殊的几何点， 注：(1)质心是一个特殊的几何点，但它的运动状态可以代表质点组的 质心是一个特殊的几何点 整体特征； 整体特征； (2)内力不影响质心的运动状态，但能影响个别质点的状态； 内力不影响质心的运动状态，但能影响个别质点的状态； 内力不影响质心的运动状态 (3)给定外力，各质点运动状态尽管不知道,但质心的运动状态可以完全 给定外力，各质点运动状态尽管不知道 但质心的运动状态可以完全 给定外力 确定，质心的运动状态只取决外力。 确定，质心的运动状态只取决外力。
dm = λdl
xc
不均匀的连续体
yc
zc
dm = ρdV
∫ xdm = ∫ dm ∫ ydm = ∫ dm ∫ zdm = ∫ dm
dm = σds
为常数时， 几何中心； 当密度 为常数时，质心 = 几何中心； 为常矢量时， 重心。 当重力加速度 g 为常矢量时，质心 = 重心。
7
理论力学
4. 质心位置的确定
x
人走到船尾时，船移动的距离为 ， 人走到船尾时，船移动的距离为s，则质 心的坐标为
x
xc =
m 2 (a − l + s ) + m1 (b + s ) m1 + m 2
m a + m1 b xco = 2 m1 + m 2
上式代入
xc =
m 2 ( a − l + s ) + m1 ( b + s ) m1 + m 2
4
理论力学
§2.1 质点组
一. 质点组的内力和外力
质点组力学
1．质点组(质点系)：许多相互联系着的质点组成的系统。 质点组(质点系) 许多相互联系着的质点组成的系统。 2．内力与外力 内力： 质点组内质点间的相互作用力。 内力： 质点组内质点间的相互作用力。 外力： 质点组外物体对组内任一质点的作用力。 外力： 质点组外物体对组内任一质点的作用力。 3．内力满足的运动定律： ．内力满足的运动定律：
y a m2g b m1g s O m2g m1g l x x
xc = xco
可以求得小 m 2
1. 质点系的内力 （ 鞋底与船间摩擦力 ） 虽 质点系的内力（鞋底与船间摩擦力） 不能改变系统质心的运动， 不能改变系统质心的运动 ， 但能改变系统 中各部分的（人与船）的运动； 中各部分的（人与船）的运动；
i
质点系
mi
r ri
c质心
o
r rc
得到n个方程： 得到 个方程： 个方程 个方程相加： 将n个方程相加： 个方程相加
d 2 ri mi 2 = Fi(i) + Fi(e) dt
(i = 1.2.L.n)
d 2 ri dri d d (e ) (i ) ∑ mi 2 = ∑ Fi + ∑ Fi ⇒ ∑(mi ) = ∑(mi vi ) = ∑ Fi (e ) dt dt dt dt
y=
2 R cos θ 3
α
扇形总面积； 扇形总面积； A = ∫
1 2 R dθ = R 2α −α 2
由坐标公式： yC = 由坐标公式：
∫ ydA
A
2 1 R cos θ R 2 dθ 2 sin α ∫−α 3 2 = R = 2 3 α Rα
α
如以α=π/2代入，即得半园形的重心： 代入，即得半园形的重心： 如以 代入
11
如图所示，在静止的小船上，一人自船头走到船尾， 例题 3-4 如图所示，在静止的小船上，一人自船头走到船尾，设人 质量为m 船的质量为m 船长l，水的阻力不计。求船的位移。 质量为 2，船的质量为 1 ，船长 ，水的阻力不计。求船的位移。
解：取人与船组成质点系。 取人与船组成质点系。 因不计水的阻力，故外力在水平轴上的投影之和等于零， 因不计水的阻力，故外力在水平轴上的投影之和等于零，即∑Fix ≡ 0。 。 则有
质点组力学
1）利用对称性(对称面、对称轴、对称中心等) ）利用对称性(对称面、对称轴、对称中心等) ——质心必在对称面、对称轴、对称中心上。 ——质心必在对称面、对称轴、对称中心上。 质心必在对称面 如：正园锥体（面）、正棱柱（面）— 正园锥体（ ）、正棱柱（ 正棱柱 轴线上; 轴线上;圆
几何中心上;正方形、 球（面）、椭球体 （面） — 几何中心上;正方形、 ）、椭球体 长方形、平形四边形—对角线交点上。 长方形、平形四边形—对角线交点上。 2）利用坐标公式计算或积分 ）
& & xc = xco xc = xco
y a m2g b m1g s O m2g m1g l
12
又因系统初瞬时静止，因此质心在水平轴上保持不变。 又因系统初瞬时静止，因此质心在水平轴上保持不变。即有
取坐标轴如图所示。在人走动前， 取坐标轴如图所示。在人走动前，系统的 质心坐标为
xco =
m 2 a + m1 b m1 + m 2
14
d 2 rC d 2 xC (e ) m 2 = ∑ Fi ⇒ m 2 = ∑ Fix(e ) dt dt
解：如图所示
应用质心运动定理， 应用质心运动定理，解得
显然， 显然，最大水平约束力为
15
§2.2 动量定理与动量守恒律
一.质点组的动量定理
参考系： 静止， 参考系： 静止， 质点组： 质点组： m1…mi…mn； r 1…r i…r n 内力： 内力： F1(i ) L Fi (i ) L Fn(i ) 外力： F (e) L F (e) L F (e) 外力： 1 i n
Fi
(e )
dp x d = dt dt
分量形式
∑mv
i
ix
∑F
第二章 质点组力学
1
理论力学
质点组力学
质点组是物理学中又一个理想模型， 质点组是物理学中又一个理想模型，由于物体总 是可以看作是质点的组合， 是可以看作是质点的组合，所以它比质点模型更接 实际，但它要考虑质点间的相互作用， 近 实际，但它要考虑质点间的相互作用，牵涉多个 微分方程的联立求解，很复杂。 微分方程的联立求解，很复杂。因此要研究质点组 的一些整体性质， 运动时 的一些整体性质，在这里运动定理和守恒定 律比质点力学更能发挥作用。 律比质点力学更能发挥作用。 我们先引进质心概念，在建立动量、 我们先引进质心概念，在建立动量、角动量和 能量定理后，研究两体运动，最后给出具有统计性 能量定理后，研究两体运动， 质的维里定理。 （不讨论） 质的维里定理。←（不讨论） 2
8
均匀扇形薄片,半径为R, 圆心角为2 例2-1 均匀扇形薄片,半径为R, 圆心角为2α,求质心。
解：取中心角的平分线，建立oxy 轴。 取中心角的平分线，建立 由对称关系,质心必在对称轴上 即 由对称关系 质心必在对称轴上,即 xc=0. 质心必在对称轴上 任取一微扇形，如图中阴影面积所示， 任取一微扇形，如图中阴影面积所示，其可 近似看作一等腰三角形，其质心 应距坐标 近似看作一等腰三角形，其质心P应距坐标 原点O的距离为 原点 的距离为OP=2R/3 ，则有 的距离为