幂函数【知识梳理】1．幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数．其中x是自变量，α是常数．2．常见幂函数的图象与性质(1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．(2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．(3)α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴；当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x 轴正半轴．【常考题型】题型一、幂函数的概念【例1】(1)下列函数：①y＝x3；②y＝12x⎛⎫⎪⎝⎭；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝a x(a>1)．其中幂函数的个数为()A．1B．2C ．3D ．4(2)已知幂函数y ＝()22231m m m m x----，求此幂函数的解析式，并指出定义域．(1)[解析] ②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B.[答案] B(2)[解] ∵y ＝()22231mm m m x ----为幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，则y ＝x －3，且有x≠0； 当m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，则y ＝x 0，且有x≠0.故所求幂函数的解析式为y ＝x －3，{x|x≠0}或y ＝x 0，{x|x≠0}． 【类题通法】判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.反之，若一个函数为幂函数，则该函数应具备这一形式，这是我们解决某些问题的隐含条件．【对点训练】函数f(x)＝()2231m m m m x +---是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．解：根据幂函数的定义得m 2－m －1＝1.解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，f(x)＝x 3在(0，＋∞)上是增函数； 当m ＝－1时，f(x)＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故f(x)＝x 3.题型二、幂函数的图象【例2】 (1)如图，图中曲线是幂函数y ＝x α在第一象限的大致图象，已知α取－2，－12，12，2四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α的值依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持！C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12(2)如图是幂函数y ＝mx 与y ＝nx 在第一象限内的图象，则( ) A ．－1<n<0<m<1 B ．n<－1,0<m<1 C ．－1<n<0，m>1 D ．n<－1，m>1[解析] (1)令x ＝2，则22>212>2－12>2－2，故相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α值依次为2，12，－12，－2.故选B.(2)此类题有一简捷的解决办法，在(0,1)内取x 0，作直线x ＝x 0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0<m<1，n<－1.[答案] (1)B (2)B 【类题通法】解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x 轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高)．(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y ＝x－1或y ＝12x 或y ＝x 3)来判断．【对点训练】已知函数y ＝ax ，y ＝bx ，y ＝cx 的图象如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c<b<a B ．a<b<c C ．b<c<aD ．c<a<b解析：选A 由幂函数的图象特征知，c<0，a>0，b>0.由幂函数的性质知，当x>1，幂指数大的幂函数的函数值就大，则a>b.综上所述，可知c<b<a.题型三、利用幂函数的性质比较大小【例3】 比较下列各组数中两个数的大小．(1)0.525⎛⎫ ⎪⎝⎭与0.513⎛⎫⎪⎝⎭；(2)123-⎛⎫- ⎪⎝⎭与135-⎛⎫- ⎪⎝⎭；(3)3423⎛⎫⎪⎝⎭与2334⎛⎫ ⎪⎝⎭. [解] (1)∵幂函数y ＝0.5x 在(0，＋∞)上是单调递增的，又25>13，∴0.525⎛⎫ ⎪⎝⎭>0.513⎛⎫⎪⎝⎭. (2)∵幂函数y ＝1x -在(－∞，0)上是单调递减的， 又－23<－35，∴123-⎛⎫- ⎪⎝⎭>135-⎛⎫- ⎪⎝⎭.(3)∵函数y 1＝23x⎛⎫⎪⎝⎭为R 上的减函数，又34>23，∴2323⎛⎫⎪⎝⎭>3423⎛⎫ ⎪⎝⎭. 又∵函数y 2＝23x 在(0，＋∞)上是增函数，且34>23，∴2334⎛⎫⎪⎝⎭>2323⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴2334⎛⎫ ⎪⎝⎭>3423⎛⎫⎪⎝⎭. 【类题通法】比较幂值大小的方法(1)若指数相同，底数不同，则考虑幂函数； (2)若指数不同，底数相同，则考虑指数函数；(3)若指数与底数都不同，则考虑插入中间数，使这个数的底数与所比较数的一个底数相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小．【对点训练】比较下列各题中两个幂的值的大小： (1)342.3，342.4；(2)32-　，32-　；(3)()650.31-，650.35.解：(1)∵y ＝34x 为[0，＋∞)上的增函数，且2.3<2.4， ∴342.3<342.4.(2)∵y ＝32x -　为(0，＋∞)∴32-　>32-　.(3)∵y ＝65x 为R 上的偶函数，∴()650.31-＝650.31.又函数y ＝65x 为[0，＋∞)上的增函数，且0.31<0.35， ∴650.31<650.35，即()650.31-<650.35.【练习反馈】1．下列函数是幂函数的是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝2x －1C ．y ＝(x ＋1)2D ．y 解析：选D 由幂函数的概念可知D 正确． 2．下列命题：①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)； ②幂函数的图象不可能在第四象限； ③n ＝0，函数y ＝nx 的图象是一条直线； ④幂函数y ＝n x 当n>0时，是增函数；⑤幂函数y ＝nx 当n<0时，在第一象限内函数值随x 值的增大而减小． 正确的命题为( ) A ．①④ B ．④⑤ C ．②③ D ．②⑤解析：选D y ＝x－1不过(0,0)点，∴①错误，排除A ；当n ＝0时，y ＝nx 的图象为两条射线，③错误，排除C ；y ＝x 2不是增函数，④错误，排除B ；因此答案选D.3．已知幂函数f(x)的图象过点(4,2)，则f ⎝⎛⎭⎫18＝________. 解析：设f(x)＝x α，则4α＝2，∴α＝12，即f(x)＝12x ，∴f ⎝⎛⎭⎫18＝1218⎛⎫ ⎪⎝⎭＝4.答案：44．函数f(x)＝()22231m m m m x +--+是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)时是减函数，则实数m ＝________.解析：由m 2－m ＋1＝1，得m ＝0或m ＝1，再把m ＝0和m ＝1分别代入m 2＋2m －3<0检验，得m ＝0. 答案：05．比较下列各题中两个幂的值的大小： (1)121.1，120.9；(2) 121.1-　，120.9-　；(3)343-　，3412⎛⎫⎪⎝⎭. 解：(1)∵y ＝12x 为[0，＋∞)上的增函数，又1.1>0.9， ∴121.1>120.9. (2)∵y ＝12x -　为(0，＋∞)上的减函数，又1.1>0.9，∴121.1-　<120.9-　.(3)∵343-　＝3413⎛⎫ ⎪⎝⎭，函数y ＝34x 为[0，＋∞)上的增函数，且13<12，∴3413⎛⎫ ⎪⎝⎭<3412⎛⎫⎪⎝⎭，即343-　<3412⎛⎫ ⎪⎝⎭.。