常微分方程与动力系统第二章习题参考答案 1.证明：因为()t Φ是线性齐次系统（LH ）的一个基本解矩阵，由定理2.5知()t Φ在区间J 上满足矩阵微分系统()M LH ,即.()()()t A t t Φ=Φ，.1()()()A t t t -=ΦΦ所以由()A t 确定的线性齐次系统（LH ）必唯一。

2.证明：因为()t ϕ，()t ψ分别是.()x A t x=和.()T x A t x =-的解，所以111()()()nk k k nnk k k a d t A t t dt a ϕϕϕϕ==⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭∑∑ ，11211111122222*121()()()nn k k k n n kn kn n n nnk a a a a a a a d t A t t dta a a a ψψψψψψ==⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=-ψ=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭∑∑ 因而1111112211(,)(,)(,),,nnk k k k k k nnkn k k nk k n n k a a d d d dt dt dt a a ψϕϕψψϕϕψϕψψϕψϕψϕ====⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥=+= ⎪+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭ ⎪⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑∑∑∑ 11111111()0nnn n nnnnn n nnm m m m i ij j i ij j i mk k km k mk k km m m m m i j i j k k k k a a a a a a ϕψψϕϕψϕψϕψϕψ============-=+=-=-=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑所以(),()()()1nt t t t k kk ϕψϕψ≡≡∑=常数。

3.证明：设)t Φ(为系统.()x A t x=的一个基本解矩阵，则由定理2.11知[]1()Tt -Φ是系统.()Tx At x =-的基本解矩阵，由定理2.4知系统.()x A t x=满足初始条件00()x t x =的特解为100()))t t t x ϕ-=Φ(Φ(，[)0,0,t t ∈+∞由题可知)t Φ(与[]1()Tt -Φ在[)0,+∞上有界，从而由定理2.24知110()0k k t ∃=>和220()0k k t =>使得10120(),(),T t k t t t k t t -⎧Φ≤≤<+∞⎪⎨Φ≤≤<+∞⎪⎩,利用常数变易法公式（2.32），可知式.()()y A t y B t y=+的初始条件为00()y t y =的解满足1()()()()()()tt y t t t s B s y s ds ϕ-=+ΦΦ⎰因为1111()()(Ttttt---ΦΦ≤Φ所以12120()()(),tt y t k kx k k B s y s≤+≥⎰，利用格朗瓦尔不等式有12()120().tt k k B s dsy t k k x e⎰≤记12()12tt k k B s dsC k k e ⎰=设0()B t dt M +∞=<+∞⎰则()()tt B s ds B t dt M+∞≤=⎰⎰有1212k k MCk k e≤从而00(),y t C x t t ≤≥所以系统.()()y A t y B t y =+的一切解都在[)0,+∞上有界。

4.解：设以矩阵cos sin ()sin cos t te tt t e tt ϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭为基本解矩阵的线性齐次系统为.1112.2122()()()()x a t x a t y y a t x a t y ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩则.11122122()()a a t t a a ϕϕ⎛⎫=⎪⎝⎭即11122122cos sin cos cos sin sin sin cos sin cos t t ttt t e t e t a a t e t t t a a e t t e t e t ⎛--⎛⎫-⎛⎫⎫= ⎪ ⎪⎪ -+⎭⎝⎭⎝⎭⎝得1112111221222122cos sin cos sin cos sin cos sin cos cos sin sin sin cos t t t t tt t te t e t a e t a e t t a t a t e t e t a e t a e t t a t a t ⎧-=+⎪-=-+⎪⎨+=+⎪⎪-=-+⎩整理得11121112212122cos sin cos sin cos sin cos sin cos cos sin sin sin cos t t a t a t t a t a t t t a t t t a t a t -=+⎧⎪=-⎪⎨+=+⎪⎪=-⎩解得1221121222cos sin 1cos 1sin cos sin a t t a t a t t a t=-⎧⎪=⎪⎨=+⎪⎪=⎩所以齐次系统.2.2cos (cos sin 1)(1sin cos )sin x x t t t yy t t x y t⎧=+-⎪⎨⎪=++⎩即为所求。

5.（1）解：由.cos x x t =，分离变量得c o s dx tdtx=解得s i n1t x C e=由.sin sin sin 1ttty xeC ee--==得.1y C =，解得12y C t C =+故原方程组得通解为sin 112t x C e y C t C ⎧=⎨=+⎩（1C ，2C 为不为零的常数）（2）解：由第一个分离变量得dx dt xt=解得1x C t =。

由.1xy t=+得.11y C=+解得122y t C t C t x C =++=++故原方程组得通解为12x C ty t x C =⎧⎨=++⎩6. (1)解：原方程组化为dx y dt tdy x dtt ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩可化简为()1()()1()d x y x y dt td x y x y dt t +⎧=-+⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩由初等积分法得12C x y t x y C t ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩ （Ⅰ）又知初值(1)2(1)0x y =⎧⎨=⎩代入（Ⅰ）得1222C C =⎧⎨=⎩，所以22x y tx y t ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩解得11x t tx t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（2）解：①+②得()d x y x ydt+=+解得1tx y C e+=（1C 为常数）③令x u t=则dx du u tdt dt=+代入①得21du u t u dt++=，即131dudtu t =--两边积分得01l n 31l n 3u t C -=-+（0C 为常数），整理得123(31)C u t-=（02C Ce=）代回原变量得1233(1)C x t t -= ④。

将初值1(1)31(1)3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩代入③，④得12311(11)11133C C e ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得1200C C =⎧⎨=⎩得解33t x ty ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩7．证明：令1()))t t s C ϕ=Φ(Φ(（C 为常值向量）2())t t s C ϕ=Φ(+，那么1()))d t d t s CdtdtϕΦ(=Φ(，2())().d t d t s d t s C dtdt dt ϕΦ(++=。

因为)t Φ(是)()dX t X t dt(=A 的解，所以由以上两式得11()())()d t t s C t dt ϕϕ=A ΦΦ(=A ，22())()d t A t s C A t dtϕϕ=Φ(+=。

又因为(0)X I=,所以有1(0))sC ϕ=Φ(，2(0))s Cϕ=Φ(。

所以根据解的惟一性定理可知，)))t s Ct s CΦ(+=Φ(Φ(，因而有())t s ΦΦ())t s =Φ(Φ(。

令s t=-，代入上式得(0)))t t E Φ=Φ(Φ(-=,因而1))t t -Φ(=Φ(-。

8.证明：此方程的满足初始条件0(0)x x =的初值问题可等价于积分方程0()()()tt X t x A s x s ds=+⎰对上述方程，应用毕卡逐次逼近法，只需考虑00()X x x E==,0()X t E=，10()()()()ttt t X t E A s X s ds E A s ds=+=+⎰⎰，2211()()()()()(())()(())(())()(())2t t t t tt tt t t t t t t t t t X t E A s X s ds E A s ds A t A s ds d E A s ds A s ds d A s d E A s ds A s ds τττττ=+=++=++=++!⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22332111()()()()()(())()(())()(())(())223t t t t t t t t t t t t t t X t E A s X s ds E A s ds A A s ds d A A s ds d E A s ds A s ds A s ds ττττττττ=+=+++=+++!!!⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由归纳法易知211()()(())(())2t ttnn t t t X t E A s ds A s ds A s ds n =+++!!⎰⎰⎰显然0()l i m ()e xp (())tnt t X t X t A s d s →+∞==⎰，可得原方程的通解为0exp(())tt A s ds c⎰，其中c 为任意的常值列向量。

9. (1)解：矩阵A 的特征值为3，-2，对应于1λ=3的特征向量12x Xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭满足代数方程组11200()005x E A x λ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以10x ⎛⎫= ⎪⎝⎭是1λ=3的一个特征向量。

同理22λ=-对应的特征向量为01y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1001P ⎛⎫= ⎪⎝⎭故331220000Ae e e P P e e ---⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）A 的特征方程为11E A λλλ-==-，解之，得特征根为iλ=±。

对应于1iλ=的特征向量12x X x ⎛⎫= ⎪⎝⎭满足代数方程组1121()01x i E A i x λ⎛⎫⎛⎫-== ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭所以1X i ⎛⎫= ⎪⎝⎭是1i λ=对应的一个特征向量。

同样可得2i λ=-对应的一个特征向量为1Y i ⎛⎫= ⎪-⎝⎭。

由A 的特征值的特征向量组成的矩阵11P i i ⎛⎫=⎪-⎝⎭，其逆矩阵*11112211222i i P P i i P i -⎛⎫-⎪--⎛⎫=== ⎪ ⎪--⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭，所以1111()()011cos1sin 12222221111sin 1cos10()()222222i ii i i i iAi iii i i i i i e e ie ie e e e e i i i i e ie ie ie ie e e -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）解：有：2102S SI A S --⎛⎫-= ⎪-⎝⎭从而*2111()2(2)()()102SI A S S SI A SI A S -⎛⎫ ⎪--- ⎪-==-⎪⎪-⎝⎭于是22112()0Ae e e SI A e --⎫⎛⎡⎤=ζ-=⎪ ⎣⎦⎪⎝⎭（4）解：有24()12S SI A S +⎛⎫-=⎪--⎝⎭，从而*221224()()2()1S SI A S S SI A S SI A S ---⎛⎫ ⎪--== ⎪+- ⎪⎪⎝⎭于是1114()13Ae SI A ----⎛⎫⎡⎤=ζ-= ⎪⎣⎦⎝⎭10.（1）解：103103120023011011A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,矩阵A 经过初等变换变为矩阵B ，则矩阵A 与矩阵B 有相同的特征值。