正方形
第一课时
一、自主学习
目标导学
1、理解并掌握正方形的性质。
2、通过自学、合作、交流培养自己分析问题解决问题的能力。
自学生疑
1、口述矩形的性质，并用几何语言叙述矩形的性质。
2、口述菱形的性质，并用几何语言叙述菱形的性质。
3、正方形的定义
4、正方形的性质
1)边
2）角
3）对角线
4）对称性
二、合作学习
合作探究
【探究一】正方形的定义
1、正方形的定义：
2、正方形与矩形和菱形的关系是【探究二】正方形的性质
1、归纳正方形的性质：边
角
对角线
对称性
2、用几何语言叙述正方形的性质：
【探究三】正方形的面积
练一练：
1、已知：如图，正方形ABCD中，CM=CD，MN⊥AC，连结CN，则∠DCN=_____=____∠B，∠MND=_______=_______∠B.
2.在正方形ABCD中，AB=12 cm，对角线AC、BD相交于O，则△ABO的周长是（）
+122 +62 +2 +62
3、下面的命题是真命题的有。
A、有一组邻边相等的平行四边形是正方形。
B、有一组邻边相等且有一角为直角的四边形为正方形。
C、正方形是一组邻边相等的矩形。
D、正方形是有一个角为直角的菱形。
精讲精练
例1、在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE=CA,连接AE交CD于F，求 的度数。
AFD
变式：1、已知如下图，正方形ABCD中，E是CD边上的一点，F为BC延长线上一点，CE=CF.
(1)求证：△BEC≌△DFC；(2)若∠BEC=60°，求∠EFD的度数.
例2：如图，E为正方形ABCD的BC边上的一点，CG平分∠DCF，连结AE，并在CG 上取一点G，使EG=AE.求证：AE⊥EG.
例3、P为正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB的度数.
例4、（海南省）如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C 不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.
（1）求证：①PE=PD；②PE⊥PD；
（2）设AP=x, △PBE的面积为y.求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
三、用中学习
1、如图，四边形ABCD为正方形，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE，CE与DB相交于点F，则AFD
= 。
2、（哈尔滨）若正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE=3，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF=AE，则BM的长为。
1，则其对角线长是________.
3.正方形的面积是
3
为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，求∠EAD的度数.
5、如图，正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10，点O是正方形ABCD的中心，正方形OMNP绕O点旋转，证明：无论正方形OMNP旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，并求这个定值．
6、（2008义乌）如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究
下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：
（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．
7、（大连）（1）如图，已知正方形ABCD和正方形CGEF（CG>BC），B、C、G在同一直线上，M为线段AE的中点。
探究：线段MD、MF的关系。
（2）若将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45︒，使得正方形CGEF对角线CE在正方形ABCD的边BC的延长线上，M为AE的中点。
试问：（1）中探究的结论是否还成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由。
第二课时
一、自主学习
目标导学
1、理解并掌握正方形的判定方法。
2、通过合作、探究、交流培养自己分析问题和解决问题的能力。
自学生疑
1、判定四边形为矩形的方法：（1）
（2）
（3）
2、判定四边形为菱形的方法：（1）
（2）
（3）
二、合作学习
合作探究
根据正方形的定义如何判定一个四边形为正方形？
练一练：
1．不能判定四边形是正方形的是（）
A．对角线互相垂直且相等的四边形 B．对角线互相垂直的矩形
C．对角线相等的菱形 D．对角线互相垂直平分且相等的四边形
2、（绵阳）四边形ABCD的对角线相交于点O，能判定它是正方形的条件是（）A．AB=BC=CD=DA B．AO=CO，BO=DO，AC⊥BD
C．AC=BD，AC⊥BD且AC、BD互相平分 D．AB=BC，CD=DA
3、如图，已知四边形ABCD是菱形，则只须补充条件：（用字母表示）就可以判定四边形ABCD是正方形．
精讲精练
例1、已知Rt ABC中，90
∠,交AB于D，
C
∠=︒，CD平分ACB
DF,,
⊥⊥
EF CD EG AD
(1)求证：EO=FO
(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论.
(3) 当点O运动到何处时，四边形AECF是有可能是正方形？并证明你的结论.
三、用中学习
1、判断:
（1）四条边都相等的四边形是正方形。
（）
（2）两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形。
（）
（3）两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方形。
（）
（4）两条对角线互相垂直的矩形是正方形。
（）
2.四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（）=OB=OC=OD，AC⊥BD∥CD，AC=BD
∥BC，∠A=∠C =OC，OB=OD，AB=BC
3、（上海市）如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC BD
，交于点O，E是BD延长线上的点，且ACE
△是等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若2
∠=∠，求证：四边形ABCD是正方形．
AED EAD
拓展探究（平行四边形与特殊平行四边形的综合运用）
1、如图，正方形ABCD 中，E 、F 、G 分别是AD 、AB 、BC 上的点，且AE=FB=GC 。
试判断EFG 的形状，并说明理由。
2、如图，在正方形ABCD 中，P 为BC 上一点，Q 为CD 上一点，(1)若PQ=BP+DQ ，求PAQ ∠。
（2）若45PAQ ∠=︒,求证：PQ=BP+DQ.
3、如图，菱形ABCD 的边长为2，对角线BD=2，E 、F 分别是AD 、CD 上的动点，且满足AE+CF=2.（1）求证：BDE BCF ≅.(2)判断BEF 的形状。
4、如图，ABC 中，点O 是边AC 上一个动点，过点O 作直线MN//BC ，设MN 交BCA ∠的平分线于点E ，交BCA ∠的外角平分线于点F 。
（1）探究：线段OE 与OF 的数量关系，并加以证明；（2）当点O 在边AC 上运动时，四边形BCFE 会是菱形吗？若是，请证明；若不是，请说明理由；（3）当点O 运动到何处，且ABC 满足什么条件时，四边形AECF 是正方形？ E
C D B A
O。