1 ( 30 20) 1 (2.5) 1 0.9938 0.0062 16
23
练布问习律需为3一要公多寓少有车200位户,住才户能, 一使户每住辆户拥汽有车汽都车辆具数有X的 一个车位的概率至少 为0.95.
X0 1 2
pk 0.1 0.6 0.3
解: 设需要车位数为x, 且设第i(i 1,2, ,200) 户有车辆数为Xi，
Sn n
p
0
证明： 由中心极限定理
P
Sn n
p
P
Sn
np
npq
n
pq
2(
n ) 1
pq
2() 1 =1
即
lim P
n
Sn n
p
0
16
中心极限定理的应用有三大类：
1) 已知 n 和 y，求概率； 2) 已知 n 和概率，求y ； 3) 已知 y 和概率，求 n .
17
一、给定n 和y，求概率
二项分布的正态近似 黑实线：正态近似 红点线：二项分布
13
二项分布是离散分布，而正态分布是连续分 布 ，所以用正态分布作为二项分布的近似时， 可作如下修正：
Pk1 n k2 Pk1 0.5 n k2 0.5
k2 0.5 np k1 0.5 np npq npq
0.95 P( Xi x)
i1
由正态近似知，上式中n应满足
0.95 ( x 2001.2) ( x 240)
200 0.36
72
因 0.95 (1.645)
从而由 (x) 的单调性知
x 240 1.645
故
72
x 253.96
由此知至少需要254个车位.
25
课后作业
P121 ＃2 ＃4 ＃5
y)
y
/
15
0.5
140
0.95
42
解得
y 2252.
19
三、给定y 和概率，求n
例 用调查对象中的收看比例 k/n 作为某电视节目
的•收Yn视服率从bp(的n, 估p) 计分。布，要k有为9Y0n％的实的际把取握值，。使根k/n据与题p意的 差异不大于0.05，问至少要调查多少对象？
解：用 •PYnY表n /示nnp个 0调.05查 对2象0中.05收n看/ p此(1节 p目) 的1人0数.90，则
注1：历史上人们通过精确估计二项分布的值来证明 定理，相当繁复。从现代分析概率的角度来看，此定 理只是更一般的中心极限定理的特殊情形。
注2：注意二项分布用Poisson近似或正态近似的条件： 当n很大时，若p大小适中，用正态近似；若p接近 0(或1)，且np较小(或较大)，用Poisson近似。
12
3m
于是 E( X k ) 0.2, D( X k ) 0.16
100
以X表示100根木柱中短于3m的根数，则 X X k
由中心极限定理有
k 1
P{X 30} 1 P{X 30}
100
X k 100 0.2
1 P{ k1
100 0.2 0.8
30 100 0.2 } 100 0.2 0.8
26
3.4.3 二项分布的正态近似
记一次Bernoulli试验中成功的概率为p(0<p<1)，令Sn 为n重Bernoulli试验中成功的次数, 则Sn ~B(n, p)
实际问题中，人们感兴趣的是 P{ Sn }
P{ Sn }
Cnk p k q nk
Байду номын сангаас
k
当n很大时，上式计算相当麻烦。
此时若p很小时，而np适中，则可用Poisson近似。
8
例题与解答
每袋味精的净重为随机变量，平均重量为 100克， 标准差为10克。 一箱内装200袋味精，求一箱味精 的净重大于20500克的概率? 解：设箱中第 i 袋味精的净重为 Xi，则Xi 独立同分布，
且 E(Xi)=100，Var(Xi) =100，
由中心极限定理得，所求概率为：
P
200 i 1
定理 设{Xn}为i.i.d.r.v.序列。记
n
Sn X i，EX1 ，DX1 2，则中心极限定理成立，即
i1
l i m
n
P
n
X i n
i1
n
x
( x)
Sn n dN (0,1) n
7
林德贝格列维中心极限定理的注意事项
注1：实际应用中，只要n足够大，就可以将独立 同分布随机变量和的标准化当作正态变量。
但是若np很大，则Poisson逼近也不适合。
De Moivre和Laplace发现，当n→∞时，可用正 态分布作为二项分布的近似。
11
De Moivre-Laplace中心极限定理
定理 设Φ(x)为N(0, 1)的分布函数，对一切 -∞<x<+∞ ，有
lim PSn np x (x)
n npq
从中解得
0.05 n / p(1 p) 1.645
又由 p(1 p) 0.25 可解得 n 270.6
n = 271 .
20
练习1 设每颗炮弹命中目标的概率为 0.01， 求500发炮弹中命中 5 发的概率.
解: 设 X 表示命中的炮弹数, 则 X ~ b(500, 0.01)
(1)
P(X
5)
Xi
20500
1
20500 200 100 200 100
1 (3.54) = 0.0002
故一箱味精的净重大于20500克的概率为0.0002. (很小)
9
例题与解答
设 X 为一次射击中命中的环数，其分布列为
X 10 9 8 7
6
P 0.8 0.1 0.05 0.02 0.03 求100次射击中命中环数在900环到930环之间的概率.
§3.4 中心极限定理
1. 一个重要现象 2. 独立同分布下的中心极限定理 3. 二项分布的正态近似 4. 独立不同分布下的中心极限定理
1
3.4.1 一个重要现象
投掷骰子的例题 N=1000
2
3
4
均匀分布的例题 N=1000
5
6
3.4.2 独立同分布下的中心极限定理
Lindeberg-Lévy中心极限定理
n 0.25
(0.2 n) (0.2 n) 2(0.2 n) 1
(0.2 n) 0.95 0.2 n 1.64 n 69
15
中心极限定理的其它用处
例：利用De Moivre-Laplace 中心极限定理证明：在n
重Bernoulli试验中，若0<p<1，则 0
lim P n
例 有200台独立工作(工作的概率为0.7)的机床，
每台机床工作时需15kw电力. 问共需多少电力, 才 可有95%的可能性保证正常生产?
解：用 Xi=1表示第i台机床正常工作, 反之记为Xi=0.
又记Y=X1+X2+…+X200，则 E(Y)=140，Var(Y)=42.
设供电量为y, 则从
P(15Y
P{X 30}
30 100 0.2 X 100 0.2
P{
}
100 0.2 0.8 100 0.2 0.8
1 (30 20) 1 (2.5) 1 0.9938 0.0062
16
22
法二、引入随机变量：
Xk
1, 0,
若 第 k根 木 柱 若1第,2k, 根,木10柱0 不短于
短
于3m k
C
5 500
0.015
0.99495
＝0.17635
(2) 应用正态逼近:
P(X=5)
=
P(4.5
<
X
<
5.5)
5.54.955
4.5 5 4.95
= 0.1742
练习2 有一批建筑房屋用的木柱, 其中80% 不小于的3m长, 现度从这批木柱中随机地取100根, 求其中至 少
有30根短于3m的概率.
解: 设 Xi 为第 i 次射击命中的环数，则Xi 独立同分布，
且 E(Xi) =9.62，Var(Xi) =0.82，故
P
900
100 i 1
Xi
930
930 100 9.62 100 0.82
900 100 9.62 100 0.82
(3.53)(6.85)= 0.99979
14
例题与解答
掷一枚均匀硬币至少多少次才能保证正面朝上的频率
在0.4与0.6之间的概率不小于90%？
解：令n为抛掷次数，Sn为正面朝上的次数，Sn~B(n, 0.5)
P 0.4
Sn n
0.6 90%
由中心极限定理
左边
P
0.4n
0.5n
n 0.25
Sn 0.5n n 0.25
0.6n 0.5n
例 100个独立工作(工作的概率为0.9)的部件组成一
个系统，求系统中至少有85个部件工作的概率.
解：用 Xi=1表示第i个部件正常工作, 反之记为Xi=0.
又记Y=X1+X2+…+X100，则 E(Y)=90，Var(Y)=9.
由此得：
P(Y
85)
1
85
0.5 9
90
0.966.
18
二、给定n 和概率，求y
注2：若取Xn为0-1随机变量，则此定理即为 De Moivre-Laplace中心极限定理。
注3：应用该定理时,需要找出独立同分布的随机 变量序列以及它们的期望和方差，再应用正态 分布的有关计算方法。