平面解析几何中的对称问题新林市第一中学 515031对称性是数学美的重要表现形式之一，在数学学科中对称问题无处不在。

在代数、三角中有对称式问题；在立体几何中有中对称问题对称体；在解析几何中有图象的对称问题。

深入地研究数学中的对称问题有助于培养学生分析解决问题的能力，有助于提高学生的数学素质。

在平面解析几何中，对称问题的存在尤其普遍。

平面解析几何中的对称问题在高考试题中更是屡见不鲜。

本文将对平面解析几何中的几种常见对称问题作一些肤浅的探讨，以求斧正。

平面解析几何中的对称问题主要有如下几种：点关于点的对称问题简称点点对称；点关于直线的对称问题简称点线对称；曲线关于点的对称问题简称线点对称；曲线关于直线的对称问题简称线线对称。

一、点点对称定理1平面上一点),(y x M 关于点),(00y x P 的对称点为)2,2(00'y y x x M --，特别地，点),(y x M 关于点)0,0(P 的对称点为),('y x M --。

证明：显然),(00y x P 为线段'MM 的中点，设),('''y x M ，由中点坐标公式有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=22'0'0y y y x x x ，即⎩⎨⎧-=-=yy y x x x 0'0'22 ，故)2,2(00'y y x x M --。

例１ 若点A 关于点)1,2(-B 的对称点为)2,4(C ，求点A 的坐标。

解：设),(y x A ，由定理１有)212,4)2(2(-⨯--⨯A ，即)0,8(-A 。

二、点线对称定理1平面上一点),(00y x M 关于直线)0(,0:22≠+=++B A C By Ax l 的对称点为：-+++-022000',)(2(y B A C By Ax A x M ))(22200BA C By Ax A +++。

证明：先证明一般情况，即0,0≠≠B A 的情况。

),('y x ，线段'MM 交直线l 于点与点),('y x M 关于直线l 对称，故),(Q Q y x Q 为线段'MM 的中点且l MM ⊥'，X 于是有：),(y x M⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2200y y y x x x Q Q且A B BA x x y y =--=--100， 又点),(Q Q y x Q 在直线l 上，故有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=++⋅++⋅A Bx x y y C y y B xx A 0000022 ，解此二元一次方程组得：⎪⎩⎪⎨⎧+++-=+++-=2200022000)(2)(2B A C By Ax A y y B A C By Ax A x x ，即-+++-022000',)(2(y B A C By Ax A x M ))(22200BA C By Ax A +++。

至于0,0≠=B A 与0,0=≠B A 的情况比较简单，证明略。

特别地，有如下几种特殊情况：（1） 平面上一点),(00y x M 关于x 轴的对称点为：),(00y x -； （2） 平面上一点),(00y x M 关于y 轴的对称点为：),(00y x -；（3） 平面上一点),(00y x M 关于直线a x =的对称点为：),2(00y x a -； （4） 平面上一点),(00y x M 关于直线b y =的对称点为：)2,(00y b x -； （5） 平面上一点),(00y x M 关于直线x y =的对称点为：),(00x y ；（6） 平面上一点),(00y x M 关于直线x y -=的对称点为：),(00x y --；（7） 平面上一点),(00y x M 关于直线b x y +=的对称点为：),(00b x b y +-； （8） 平面上一点),(00y x M 关于直线b x y +-=的对称点为：),(00b x b y +---特别地，点),(y x M 关于点)0,0(P 的对称点为),('y x M --。

若直线,0=++z y x 与椭圆1)()(:220220=-+-b y y a x x C有公共点，则有：≥+22)()(Bb Aa 200)(C By Ax ++证明：由1)()(:220220=-+-b y y a x x C 可令θcos 0a x x +=，θsin 0b y y +=代入)0(,0:22≠+=++B A C By Ax l 得：A )cos (0θa x ++B )sin (0θb y +0=+C整理得：θcos Aa +θsin Bb =(-A 0x +B 0y C +)即： )sin()()(22ϕθ++Bb Aa =(-A 0x +B 0y C +)，（其中ϕ为辅助角） 又1)sin(≤+ϕθ,∴1)()()(2200≤+++-Bb Aa C By Ax即：≥+22)()(Bb Aa 200)(C By Ax ++ 特别地，当0,000==y x 时，有推论1 若直线)0(,0:22≠+=++B A C By Ax l 与椭圆1:2222=+by a x C 有公共点，则有：≥+22)()(Bb Aa 2C对于定理1，若令r b a ==，则有定理2 若直线)0(,0:22≠+=++B A C By Ax l 与圆22020)()(:r y y x x C =-+-有公共点，则有：≥+22)()(Br Ar 200)(C By Ax ++，整理得 ≥+)(222B A r 200)(C By Ax ++特别地，当0,000==y x 时，有推论2 若直线)0(,0:22≠+=++B A C By Ax l 与圆222:r y x C =+有公共点，则有：≥+)(222B A r 2C下面略举数例说明其应用。

一、 求点到直线的距离 例１ 求点),(00y x P 到直线)0(,0:22≠+=++B A C By Ax l 的距离。

解：设点),(00y x P 到直线)0(,0:22≠+=++B A C By Ax l 的距离为d ，构造以点),(00y x P 为圆心，r 为半径的动圆22020)()(:r y y x x C =-+-，显然，当直线 )0(,0:22≠+=++B A C By Ax l 与动圆22020)()(:r y y x x C =-+-有公共点时，点),(00y x P 到直线)0(,0:22≠+=++B A C By Ax l 的距离d 为半径r 的最小值，即min r d=，由定理2知：≥+)(222B A r 200)(C By Ax ++，即：r BA CBy Ax ≤+++2200，故2200BA CBy Ax d +++=即点),(00y x P 到直线)0(,0:22≠+=++B A C By Ax l 的距离为2200BA CBy Ax d +++=此即平面解析几何中点到直线的距离公式。

二、 求最值、函数的值域例１ 若,,R y x ∈且3)2(22=+-y x ，则xy的最大值为（ ）A ．21B ．33C ．33D ．3（1990年全国高考试题）解：设xyk =，得直线0=-y kx ，由定理１得22)2()1(3k k ≥+，解得：、 33≤≤-k ，即33≤≤-xy，故选（D ） 例２ 求函数xx xx y sin 3cos 21sin cos 23++++=的值域。

解：设u x =sin ，v x =cos ，代入xx x x y sin 3cos 21sin cos 23++++=得：uv uv y 32123++++=整理得0)3()1(2)13(=-+-+-y v y u y ，又122=+v u关于v u ,的直线0)3()1(2)13(=-+-+-y v y u y 与关于v u ,的圆122=+v u 有公共点。

由推论2得：≥-+-22)]1(2[)13(y y 2)3(-y解得：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-≤131y y y或即所求函数x x x x y sin 3cos 21sin cos 23++++=的值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-≤131y y y 或。

例３ 已知平面上两定点)0,1(),0,1(B A -，),(y x P 为圆4)4()3(:22=-+-y x C 上任一点，求22PBPA +的最大值与最小值。

解：依题意有22PB PA +2)(2)1()1(222222++=+-+++=y x y x y x ①又由4)4()3(:22=-+-y x C得218622-+=+y x y x ，代入①得：22PB PA +4016122)2186(22)(222-+=+-+=++=y x y x y x令22PB PA +t =，有401612-+y x t =，即0)40(1612=+-+t y x关于y x ,的直线0)40(1612=+-+t y x 与关于y x ,的圆4)4()3(22=-+-y x 有公共点。

由定理2得：≥+)1612(4222)]40(416312[t +-⨯+⨯解得：10020≤≤t故22PBPA +的最大值与最小值分别为4020与。

例４已知椭圆),149:22R y x y x C ∈=+，（，求21+-+y y x 的最大值。

解：令=t21+-+y y x ，整理得0)12()1(=+--+t y t x关于y x ,的直线0)12()1(=+--+t y t x 与椭圆),149:22R y x y x C ∈=+，（有公共点。

由推论１得：≥-+2)1(49t 2)]12([+-t ，解得：1≤t故21+-+y y x 的最大值为１。

例５ （加拿大第七届中学生数学竞赛试题）试确定最大的实数z ，使得实数y x ,满足：{53=++=++z y x xz yz xy解：由5=++z y x 得：25)(2222=+++++xz yz xy z y x ①又3=++xz yz xy ，代入①得：19222=++z y x ，即22219z y x -=+关于y x ,的直线0)5(=-++z y x 与关于y x ,的圆22219z y x -=+有公共点。

由推论２得：2222)5()11)(19(-≥+-z z解得：0131032≤--z z，即：3131≤≤-z 故最大的实数z 为313。

三、 求代数式的围 例１ 若,,R y x ∈1)1(22=-+y x ，且0≥++d y x 恒成立，求d 的取值围。

解：由已知得)(y x d +-≥，设)(y x +-k =，得直线)(y x +0=+k ，由定理２得：222)1()11(k +≥+，解得：1212-≤≤--k ，即12max -=k ,即12)(max -=+-y x ,又)(y x d +-≥，故12-≥d。