专题限时集训(十五)圆锥曲线中的综合问题[建议用时：45分钟]1．(2016·中原名校联盟二模)已知椭圆C：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点B (0，3)为短轴的一个端点，∠OF 2B ＝60°.图15­4(1)求椭圆C 的方程；(2)如图15­4，过右焦点F 2，且斜率为k (k ≠0)的直线l 与椭圆C 相交于D ，E 两点，A 为椭圆的右顶点，直线AE ，AD 分别交直线x ＝3于点M ，N ，线段MN 的中点为P ，记直线PF 2的斜率为k ′.试问k ·k ′是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．[解] (1)由条件可知a ＝2，b ＝3，故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.4分(2)设过点F 2(1,0)的直线l 的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y23＝1，可得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.5分因为点F 2(1,0)在椭圆内，所以直线l 和椭圆都相交，即Δ＞0恒成立．设点E (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3.6分因为直线AE 的方程为y ＝y 1x 1－2(x －2)，直线AD 的方程为y ＝y 2x 2－2(x －2)，令x ＝3，可得M ⎝⎛⎭⎪⎫3，y 1x 1－2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，y 2x 2－2，所以点P 的坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1x 1－2＋y 2x 2－2.8分 直线PF 2的斜率为k ′＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1x 1－2＋y 2x 2－2－03－1＝14·x 1y 2＋x 2y 1－2y 1＋y 2x 1x 2－2x 1＋x 2＋4＝14·2kx 1x 2－3k x 1＋x 2＋4k x 1x 2－2x 1＋x 2＋4＝14·2k ·4k 2－124k 2＋3－3k ·8k 24k 2＋3＋4k4k 2－124k 2＋3－2·8k 24k 2＋3＋4＝－34k， 所以k ·k ′为定值－34.12分2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2是左右焦点，A ，B 是长轴两端点，点P (a ，b )与F 1，F 2围成等腰三角形，且S △PF 1F 2＝ 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设点Q 是椭圆上异于A ，B 的动点，直线x ＝－4与QA ，QB 分别交于M ，N 两点． (i)当QF 1→＝λMN →时，求Q 点坐标；(ⅱ)过点M ，N ，F 1三点的圆是否经过x 轴上不同于点F 1的定点？若经过，求出定点坐标，若不经过，请说明理由．[解] (1)F 1(－c,0)，F 2(c,0)，由题意可得F 1F 2＝PF 2，∴(a －c )2＋b 2＝4c 2.1分 由S △PF 1F 2＝3可得，12·2c ·b ＝bc ＝ 3.2分两式联立解得a ＝2，b ＝3，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.4分(2)(ⅰ)∵QF 1→＝λMN →，∴QF 1∥MN ，∴QF 1⊥x 轴.5分 由(1)知，c 2＝1，∴F 1(－1,0)．设Q (－1，y )，则有14＋y 23＝1，∴y ＝±32，∴Q ⎝⎛⎭⎪⎫－1，±32.7分 (ⅱ)设Q (x 0，y 0)，则k QA ＝y 0x 0＋2，直线QA 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)．令x ＝－4得M 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，－2y 0x 0＋2.9分同理k QB ＝y 0x 0－2，直线QB 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，得N 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，－6y 0x 0－2，10分MN ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6y 0x 0－2－－2y 0x 0＋2＝3x 0＋4|y 0|.11分 设圆心坐标为O (m ，n )，若x 轴上存在定点E (λ，0)满足条件，则有m ＝λ－12，n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－6y 0x 0－2＋－2y 0x 0＋2＝3x 0＋1y 0.12分由题意可得(m ＋4)2＋MN 24＝n 2＋EF 214，13分代入得⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－12＋42＋14·9x 0＋42y 20＝9x 0＋12y 20＋λ＋124.即⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－12＋42－λ＋124＝36x 0＋12－9x 0＋424y 20＝93x 20－124y 2＝－9， 整理得λ＝－7，∴x 轴上存在点E (－7,0)满足题意.14分3．(2016·淄博二模)已知点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，64是等轴双曲线C ：y 2a 2－x 2a 2＝1上一点，抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点与双曲线C 的一个焦点重合．图15­5(1)求抛物线的方程；(2)若点P 是抛物线上的动点，点A ，B 在x 轴上，圆x 2＋(y －1)2＝1内切于△PAB ，求△PAB 面积的最小值．[解] (1)将⎝ ⎛⎭⎪⎫12，64代入双曲线可得，38a 2－14a 2＝1，解得a 2＝18，c 2＝a 2＋a 2＝14，2分由题意可知，p 2＝12，p ＝1，所以抛物线方程为x 2＝2y .4分(2)设P (x 0，y 0)，A (m,0)，B (n,0)，不妨设n ＞m . 直线PA 的方程：y ＝y 0x 0－m(x －m )，化简得y 0x ＋(m －x 0)y －my 0＝0.6分 又圆心(0,1)到PA 的距离为1，|m －x 0－my 0|y 20＋m －x 02＝1，上式化简得(y 20－2y 0)m 2＋2x 0y 0m －y 20＝0， 同理有(y 20－2y 0)n 2＋2x 0y 0n －y 20＝08分所以m ＋n ＝－2x 0y 0y 20－2y 0＝－2x 0y 0－2，mn ＝－y 20y 20－2y 0＝－y 0y 0－2，则(m －n )2＝4x 20＋4y 20－8y 0y 0－22.10分因P (x 0，y 0)是抛物线上的点，有x 20＝2y 0，则(m －n )2＝4y 2y 0－22，易知y 0＞2，所以n－m ＝2y 0y 0－2. 所以S △PAB ＝12(n －m )·y 0＝y 0y 0－2·y 0＝(y 0－2)＋4y 0－2＋4≥24＋4＝8.12分当(y 0－2)2＝4时，上式取等号，此时y 0＝4，x 0＝±2 2. 因此S △PAB 的最小值为8.13分4．(2016·开封二模)已知中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为32的椭圆过点⎝⎛⎭⎪⎫2，22.图15­6(1)求椭圆的方程；(2)设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P ，Q 两点，满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围. 【导学号：67722057】[解] (1)由题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)， 则c a ＝32(其中c 2＝a 2－b 2，c ＞0)，且2a 2＋12b2＝1，故a ＝2，b ＝1. 所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.4分(2)由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0.故可设直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4，消去y 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0，5分则Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)＞0， 且x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－11＋4k2.6分 故y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2，7分 因为直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，所以y 1x 1·y 2x 2＝k 2x 1x 2＋km x 1＋x 2＋m 2x 1x 2＝k 2，即－8k 2m 21＋4k2＋m 2＝0.8分又m ≠0，所以k 2＝14，即k ＝±12.9分由于直线OP ，OQ 的斜率存在，且Δ＞0，得0＜m 2＜2，且m 2≠1. 设d 为点O 到直线l 的距离，则d ＝|2m |5，10分|PQ |＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝52－m2，11分所以S ＝12|PQ |d ＝m22－m2＜m 2＋2－m 22＝1(m 2≠1)，故△OPQ 面积的取值范围为(0,1).12分。