本科毕业论文自然数幂求和公式的存在与规律探讨SUM FORMULA OF POWER OF NATURAL NUMBER'S EXISTENCE AND REGULARITY学院（部）：理学院专业班级：08-2数学与应用数学学生姓名：张兴刚指导教师：范自强2012年6 月1 日自然数幂求和公式的存在与规律探讨摘要自然数幂求和是一个古老的数学问题，本文从线性空间入手，提出关于多项式的自然线性空间的概念，利用了线性空间的简单性质，证明了任意正整数的自然数幂求和公式的存在和简单规律；归纳出自然数幂求和公式中一条精彩的结论，系数定理，一劳永逸的解决并揭示了自然数幂求和问题的内涵；本文亦从线性空间的角度，提出自由空间概念，为自然数幂求和问题带来了一种新的视角。

关键字：自然数幂求和、自然线性空间、多项式、系数定理、自由线性空间Sum formula of power of natural number 's existence and regularityAbstractNatural number power sum is an ancient mathematical problems, this article from the linear space sets out, put forward on polynomial natural linear space, linear space of the simple nature, it is proved that for any positive integer sum formula of power of natural number exists, and the simple rule; summarize sum formula of power of natural number in a wonderful conclusion coefficient theorem, put things right once and for all solutions and reveals the natural number power sum problem connotation; this paper also from linear spatial angle, put forward the concept of free space, is a natural number power sum problem brought a new perspective.Keywords: natural number power sum, natural linear space, polynomial coefficient theorem, free linear space目录一、自然数幂求和公式的存在性 (1)1自然线性空间 (1)2基本初等公式 (1)3自然数幂求和公式的存在性证明 (2)二、自然数幂求和公式的系数定理 (3)1系数规律的研究与猜想 (3)2系数定理的证明 (5)2.1系数定理的归纳证明 (5)2．2系数定理的几条重要推论 (6)3系数定理的运用 (7)3.1系数定理求和 (7)3.2常见的自然数幂求和公式 (8)三、自由线性空间与自然数幂求和规律的研究 (9)1自由线性空间 (9)2自由向量的性质 (9)3、自由向量的运用 (11)3.1求和 (11)3.2自然数幂求和公式 (12)四、自然数幂求和公式的VB编码 (13)参考文献： (17)一、自然数幂求和公式的存在性1自然线性空间定义：由一切形如23123m m w a n a n a n a n =++++……（m ∈N,i *N ∈，i a R ∈）的多项式作为元素构成的线性空间，称为自然线性空间,记作G .2基本初等公式首先我们由二项式定理以及复合求和的性质，得一下推论：1111111101101110111111(1)1111n m i nm i nm jjm i j m njjm j i m njjm j i mnnjjm m j i i i i Ci CiCiCii++=+=++==++==++==++====++=+=+=+=++∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑则有：11111111n mnnm jjm m i j i i iCii++++=====++∑∑∑∑化简得，基本初等公式：111(1)1mnm j j m j i n Ci ++==+=+∑∑3自然数幂求和公式的存在性证明猜想：1nmi i G =∈∑，且为m+1次多项式。

下面我们从自然线性空间出发，利用数学归纳法证明自然数幂求和公式的存在。

证明：1) 已知当k=0时，011nnki i ii n G ====∈∑∑,且为k+1次多项式.2) 若k ≤m 时，1nk i i G =∈∑,且为k+1次多项式，由基本初等公式得：12122111(1)11(2)m nmnnm j jj jm m m j i j i i n CiCim i +++++=====+=+=+++∑∑∑∑∑则 1221011(1)12nm nm m j j m i j i in C i m +++===⎡⎤=+--⎢⎥+⎣⎦∑∑∑ 显然 101m njjm j i C iG +==∈∑∑为m+1次多项式，2(1)1m n G ++-∈为m+2次多项式，则1221011(1)12nm nm m j j m i j i in C i G m +++===⎡⎤=+--∈⎢⎥+⎣⎦∑∑∑,且为m+2次多项式. 3）、 由1），2）可知，1nmi iG =∈∑，且为m+1次多项式.存在性定理：1nm i i G =∈∑，且为m+1次多项式。

定义：由存在性定理，我们称m 次自然数幂求和公式中，p n 的系数为m 级p 次系数，记为,m p f 。

则自然数幂求和表达式为：11,1,,1,11nmm m m m m m m m m m i if n f n f n f n +-+-==++++∑……二、自然数幂求和公式的系数定理1系数规律的研究与猜想由基本初等公式111(1)1mnm j jm j i n Ci++==+=+∑∑自然数幂求和表达式11,1,,1,11nk k k k k k k k k k k i i f n f n f n f n +-+-==++++∑……将自然数幂求和表达式代入基本初等公式，两边同时取pn 的系数，可得推论一：123111,11,12,13,11,p m m m m p m m m p m m p m m p m m p m p pC C f C f C f C f C f ----+++-+-+-+-=+++++…… 推论二：()12311,111,12,13,11,m p m m m p m m p m m m p m m p m m p m p p C f C C f C f C f C f ----+++-+-+-+-=-++++……由 推论二 ，令p=m+1,则 1,11mm m m C f ++=，化简得,111m m f m +=+；令p=m,则111,11,m m m m m m m m m m C C f C f -+++-=+，化简得,12m mf =；令p=m-1,则11211,111,112,1m m m m m m m m m m m m m m C C f C f C f ---++-+--+--=++，化简得,112m m m f -=；令p=m-2,则212311,211,212,213,2m m m m m m m m m m m m m m m m m m C C f C f C f C f ----++-+--+--+--=+++化简得,20m m f -=；令p=m-3,则3123411,311,312,313,314,3m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m C C f C f C f C f C f -----++-+--+--+--+--=++++，31(1)(2)720m m fm m m -=---；由以上结果可以看出,11,11*111m m m m m m f f m m m m +-===+++ ,1,112m mm m m f f m--==,11,21*121121m m m m m m m m f f m m ----===-- ,31,403m m m m mf f m ---==-,41,5(1)(2)(1)(2)(3)*72047204m m m m m m m m m m m m f f m m --------===----由以上结论，系数猜想,1,1m pm p m f f p--=.2系数定理的证明2.1系数定理的归纳证明以下利用数学归纳法，结合推论证明系数猜想证明：对于任意的,m p f，定义间距r=m+1-p,11p m ≤≤+, 0r m ≤≤ 1) 当间距r=0时，p=m+1,,11,1m m m m m f f m +-=+,满足,1,1m p m p mf f p --=.2) 若当间距满足0r k ≤≤时，即11m k p m +-≤≤+，总有,1,1m pm p mf f p--=， 由推论，令r=k+1,即p=m-k ，有12111,11,12,11,m k m m m m k m m m m k m m m k m m m k m m k m k C C f C f C f C f -----++-+--+--+---=++++……则1,m m m m kC f +-()1231111,12,13,11,m k m m m m k m m m m k m m m k m m m k m m k m k C C f C f C f C f ------++--+--+--+---=-++++……1231112,113,114,112,11231m k m m m m k m m m m k m m m k m m m k m m k m k m m m m k C C f C f C f C f m k m k m k m k ------++---+---+---+---------⎛⎫=-++++ ⎪----⎝⎭……()123422,13,14,12,11m k m m m m k m m m m k m m m k m m m k m m k m k m C C f C f C f C f m k--------------------+⎡⎤=-++++⎣⎦-……由推论二得:()1123421,12,13,14,12,1m m k m m m m k m m m k m m m m k m m m k m m m k m m k m k C f C C f C f C f C f ------------------------=-++++……代入得11,1,11=m m m m m k m m m k m C f C f m k-+----+- 化简得11m m m km k m ff m k----=- 即间距r=k+1时，仍然有11m m pp m ff p--=.3）、由1），2）综上分析，可知总有11m m pp m f f p--=，()11p m ≤≤+.故得出 自然数幂求和系数定理(),1,1,11m p m p mf f p m p--=≤≤+2．2系数定理的几条重要推论 由系数定理得1122331111,1(1)(1)(1)(2)(1)(2)(1)(2)(2)(1)(2)2mpm p m p m p m p p m m p f m f pm m f p p m m m f p p p m m m m p f p p p C f p-------+--+=-=---=-----+==--=………………即：推论三1,1,1p m m pm p C f f p--+=对于推论二，令p=1得推论四()112301,1111,112,113,110,1m m m m m m m m m m m m m m C f C C f C f C f C f ---+++-+-+-+=-++++……由自然数幂求和表达式11,1,,1,11nm m m m m m m m m m m i i f n f n f n f n +-+-==++++∑……令n=1，则得推论五,1,1,,1,21m m m m m m m m f f f f f +-=-----……推论四、推论五可以作为计算机编程的依据。