第六章 预测模型（Forecast Models ）本讲主要内容1. 预测和预测模型2. 时间序列预测模型3. 灰色预测模型4. 数学建模案例：SARS 疫情对某些经济指标影响问题6.1预测和预测模型6.1.1 什么是预测预测作为一种探索未来的活动早在古代已经出现，但作为一门科学的预测学，是在科学技术高度发达的当今才产生的。

“预测”是来自古希腊的术语。

我国也有两句古语：“凡事预则立，不预则废”， “人无远虑，必有近忧” 。

预测的目的在于认识自然和社会发展规律，以及在不同历史条件下各种规律的相互作用，揭示事物发展的方向和趋势，分析事物发展的途径和条件，使人们尽早地预知未来的状况和将要发生的事情，并能动地控制其发展，使其为人类和社会进步服务。

因而预测是决策的重要的前期工作。

决策是指导未来的，未来既是决策的依据，又是决策的对象，研究未来和预测未来是实现决策科学化的重要前提。

预测和决策是过程的两个方面，预测为决策提供依据，而预测的目的是为决策服务，所以不能把预测模型和决策模型截然分开，有时也把预测模型称为决策模型。

20世纪以来，预测技术所以得以长足进步，一方面，与社会需求有很大关系，另一方面通过社会实践和长期历史验证，表明事物的发展是可以预测的。

而且借助可靠的数据和科学的方法，以及预测技术人员的努力，预测结果的可靠性和准确性可以达到很高的程度，这也是预测技术迅速发展的另一个重要原因。

6.1.2 预测的方法和内容为保证预测结果的精确度，预测之前的主要工作是数据的准备，数据是预测工作的前提和重要依据，预测不能是臆造和空想，任何事物的发展都有一定的规律，认真研究预测对象并充分考察预测对象所处的环境，以系统分析的方法对过去和现在的数据进行总结，从中找出规律，便可科学地推断未来。

1.数据的收集和整理 按时态分，数据可分为历史数据和现实数据；按预测对象分，可分为内部数据和外部数据；就收集的手段分，可分为第一手数据和第二手数据。

第一手数据，包括以各种形式初次收集的数据。

收集第一手数据的途径包括：抽样调查，连续调查，或全面调查。

在预测的定性方法中常常需要第一手数据，但获取第一手数据的费用较高，时间较【产品销量预测问题】假设商店某种产品的销售量如下表6-1。

表6-1 某产品销量资料年份2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010销售量（万件）10 18 25 30.5 35 38 40 39.5 38试预测2011年的销售量，并且要求在90%的概率保证下，给出预测的置信区间。

长，所以定量方法常采用第二手数据。

第二手数据多为已经公布和发表的资料，易于获取，代价低，数据精度也有一定的保证。

其缺点是数据可能不能直接适用于预测情况。

因此，常常需要对已公布的数据进行修正和处理，使其适应于预测需要。

无论是第一手数据还是第二手数据，都可能是混乱的、无序的、彼此间孤立的。

预测人员都应将原始数据按“单元”或“类别”整理和集中，以便使其成为内容上完整、有序、系统，形式上简明统一的数据。

2.数据的分析和处理建模不仅需要大量的数据，同时数据必须可靠，并适合建模的要求。

这些数据虽然是历史的客观写照，但有可能是失真的数据。

对于失真的数据，以及不符合建模的数据，必须通过分析，加以适当处理。

处理的原则是准确、及时、适用、经济、一致，处理方法有判别法、剔除法、平均值法、差分法等等。

有些模型只能处理平稳数据，如果原始数据为非平稳数据，则需釆取差分处理。

在预测过程中，由于预测对象不同，预测内容不同，以及预测期限不同，所需的数据内涵及数量也不同。

经济预测的数据主要包括：（1）国民经济总产值及各部类的分配情况；（2）各行业的生产规模和生产能力以及技术水平；（3）政府的经济政策及产业政策；（4）生产力布局；（5）人口发展趋势及就业情况；（6）国民经济投资及分配；（7）国际环境及变化趋势。

市场需求预测需要的数据主要有：（1）人口及人均收入；（2）国民收入的增长及分配情况；；（3）与产品消费直接有关的政府政策和法规，如进口限制、进口税、销售稅和其它税费、信贷管理及外费管理等；（4）一段时期内产量和产值的生产能力；（5）一段时期内的产品的进口量；（6）代用品或近似代用品的产量和进口量；（7）与有关新投入的产品前后关联度高的产品的产量；（8）国家计划规定的产品或代用品的生产指标；（9）产品出口量；（10）个人或集体消费者们的习惯或嗜好；（11）法律方面的资料。

针对不同的预测问题可选取适当的数学模型进行预测。

实用的预测模型很多，数学建模中常用的预测模型有时间序列模型，回归分析模型和灰色预测模型等等。

回归模型在第四章中已经介绍，本章讲分别介绍时间序列预测模型和灰色预测模型。

6.2 时间序列预测模型时间序列一般指一组按时间顺序排列的数据，展示了研究对象在一定时期的发生变化过程。

时间序列模型，就是根据预测对象时间变化特征，研究事物自身的发展规律，探讨未来发展趋势，是一种重要的定量预测方法。

它是在时间序列变量分析的基础上，运用一定的数学方法建立预测模型，使时间趋势向外延伸，从而预测未来市场的发展变化趋势，确定变量预测值。

时间序列模型包括多种模型，主要适用于经济预测、商业预测、需求预测、库存预测等，预测期限主要为中、短期，不适用于有拐点的长期预测。

在时间序列中，通常根据影响因素将数据的变化趋势分为四大类：长期趋势、季节变动、循环变动和不规则变动。

对于前三种数据趋势预测问题，由于数据均呈现出某种规律性，因此我们能够将数据进行简化、分析，从而使预测成为可能；而不规则变动是指由某种偶然因素引起的突然变动，如战争的发生、政权的更迭、重大自然灾害的发生等，不规则变动没有周期性。

在建模中常用的时间序列预测方法有移动平均法、指数平滑法、趋势外推法、季节指数预测法等等。

6.2.1 移动平均预测法移动平均法是根据时间序列资料逐渐推移，依次计算包含一定项数的时序平均数，以反映长期趋势的方法。

当时间序列的数值由于受周期变动和不规则变动的影响，起伏较大，不易显示出发展趋势时，可用移动平均法消除这些因素的影响，分析、预测序列的长期趋势。

移动平均法有简单移动平均法、加权移动平均法、趋势移动平均法等，这些都是比较简单的时间序列预测方法。

移动平均法的基本方法是，选一个固定的周期N ，对数据进行平均，每递推一个周期就加上后一个数据，舍去初始数据，依次类推，直至把数据处理完毕。

以N =5为例：512345)1(5y y y y y M ++++=，523456)1(6y y y y y M ++++=.()()1156M M 、分别表示第五、第六个周期的一次移动平均值，依次类推。

若移动平均的周期为N ，则可得到计算移动平均值的一般公式：Ny y y y M N t t t t t )1(21)1(−−−−++++=L ，其中，)1(t M 表示第t 期的一次移动平均值。

可见，移动平均法实际上是对于某一期数据，取前N 个数据进行平均，N 个数权数相同，而其它数据的权为零，这样经过移动平均，将消除数据列中异常的因素，对数据进行修匀。

一般情况下，如果数据没有明显的周期变化和趋势变化，可用第t 期的一次移动平均值作为t +1期的预测值，即)1(1ˆt t M y=+. 表6-2中的的第二列和第三列，即是原始数据与一次移动平均值的对比。

始取N =3的3期移动平均，则第三期数据的移动值为5766.33，它可以作为第4期的预测值。

一次移动平均法只能用来对下一期进行预测，不能用于长期预测。

使用移动平均法，最重要的是移动周期N 的选择。

由于移动平均修匀后的方差，随着N 的加大而减少。

也就是N 越大，对原始数据修匀能力越强。

必须选择合理的移动跨期，跨期越大对预测的平滑影响也越大，移动平均数滞后于实际数据的偏差也越大。

跨期太小则又不能有效消除偶然因素的影响。

跨期取值可在3~20间选取。

表6-2 移动平均值序 列 原 始 数 据 一次移动平均值 二次移动平值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 115600 5796 5930 6092 6257 6567 6851 7141 7436 7738 80455775.3 5939.3 6093.0 6305.3 6558.3 6853.0 7142.7 7438.3 7739.75935.9 6112.5 6318.9 6572.2 6851.3 7144.7 7440.2在一次移动平均值的基础上，应用移动平均的原理，还可以进行二次甚至多次的移动平均，二次移动平均，就是以一项移动平均值为原始数据，再进行一次移动平均。

二次移动平均法的公式为：Ny y y y MN t t t t t)1(21)1(−−−−++++=L ，NM M M M M N t t t t t )1()1()1(2)1(1)1()2(−−−−++++=L .二次移动平均使原始数据得到了进一步修匀，使其显现线性趋势。

表6-2中的第四列数据为N =3的二次移动平均值。

在二次移动平均值的基础上，可建立线性模型：ττt t t b a y+=+ˆ 其中 ,2)2()1(t t t M M a −=)(12)2()1(t t t M M n b −−=，式中：τ-预测超前期数。

对于表6-1中的数据，如以11期数据预测12期值，当取N =3时，则有：,2.80392.74407.773922)2(11)1(1111=−×=−=M M a.5.2992.74407.7739)(132)2(11)1(1111=−=−−=M M b 预测方程为ττ5.2992.8039ˆ11+=+y. 所以第12期的预测值为 7.83385.2992.8039ˆ12=+=y. 二次移动平均法是对一次移动平均数再次进行移动平均，并在两次移动平均的基础上建立预测模型对预测对象进行预测。

二次移动平均法与一次移动平均法相比，其优点是大大减少了滞后偏差，使预测准确性提高。

但它只适用于短期预测。

而且只用于0≥T 的情形。

6.2.2指数平滑预测法指数平滑法（Exponential Smoothing,ES ）是布朗（RobertG.Brown ）所提出的，他认为时间序列的态势具有稳定性或规则性，所以时间序列可被合理地顺势推延；他认为最近的过去态势，在某种程度上会持续到未来，所以将较大的权数放在最近的资料。

指数平滑法来自于移动平均法，是一次移动平均法的延伸。

它将时间数据加工平滑，从而获得其变化规律与趋势。

根据平滑次数的不同，指数平滑法可以分为一次指数平滑法、二次指数平滑法和三次指数平滑法等。

1. 一次指数平滑法 一次指数平滑公式为)1(1)1()1(−−+=t t t S y S αα.其中)1(t S ：t 期数据的指数平滑值；α：平滑常数，0<α<1；t y ：现期数据值。