、选择题
1.正方形ABCD边长为2, E、F分别是AB和CD的中点，将正方形沿
面角（如图），M为矩形AEFD内一点，如果/ MBE= / MBC , MB和平面BCF
1
值为1，那么点M至®线EF的距离为
（
2
D.-
2
2 .三棱柱ABC—A1B1C1 中，AA i=1 , AB =4, BC=
3 , / ABC=90 °，设平面
ABC的交线为I，则A1C1与I的距离为（）
二、填空题
4.如右上图，ABCD与ABEF均是正方形，如果二面角E—AB—C的度数为30°，
那么EF与平面ABCD的距离为
三、解答题
（1）求证：平面A1BC1 //平面ACD1；
立体几何--空间的距离
EF折成直二
所成角的正切
B.1
A i BC i与平面
A J10 B. TH C.2.6 D.2.4
3.如左下图，空间四点A、B、C、D中，每两点所连线段的长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则P与Q的最短距离为
5.在长方体如图:
(2)求(1)中两个平行平面间的距离;
⑶求点B i到平面A i BC i的距离.
6.已知正四棱柱ABCD —A i B i C i D i，点E在棱D i D上，截面EAC
// D i B且面EAC与底面ABCD所成的角为45° ,AB=a,求:
(i)截面EAC的面积;
⑵异面直线A i B i与AC之间的距离;
⑶三棱锥B i —EAC的体积.
7•如图，已知三棱柱A i B i C i —ABC的底面是边长为2的正三角形,
AC均成45°角，且A i E丄B i B于E, A i F丄CC i于F.
(i)求点A到平面B i BCC i的距离;
⑵当AA i多长时，点A i到平面ABC与平面B i BCC i的距离相等.
&如图，在梯形ABCD 中，AD // BC,/ ABC = —,AB=
2
2
/ ADC=arccos—75 ,PA丄面ABCD 且PA=a.
5
(i)求异面直线AD与PC间的距离;
(2)在线段AD上是否存在一点F,使点A到平面PCF的距离为亨
【空间的距离参考答案】
一、i.解析：过点M作MM '丄EF,则MM '丄平面BCF
•// MBE= / MBC
••• BM '为/ EBC为角平分线,
£■
侧棱A i A与AB
、
i
-AD=a,
3
•••/ EBM ‘ =45° ,BM ‘ =迈，从而MN = ^
2
答案：A
2.解析：交线I过B与AC平行，作CD丄I于D，连C i D，则C i D为A i C i与I的距离,
12 13
而CD等于AC上的高，即CD =—，Rt △ C i CD中易求得C i D= — =2.6
5 5
答案：C
二、3.解析：以A、B、C、D为顶点的四边形为空间四边形，且为正四面体，取
分别为AB、CD的中点，因为AQ=BQ=』2a,.・. PQ丄AB,同理可得
2
答案：一a
2
•••底面ABCD是正方形
••• DO 丄AC，又ED 丄面ABCD
••• E0丄AC,即/ EOD=45°PQ丄CD，故线段PQ的
长为P、Q两点间的最短距离，在RtAAPQ中，PQ=J A Q2 AP2浮"碍）2
——
a
2
4.解析：显然/ FAD是二面角E—AB —C的平面角，/ FAD=30°，过F作FG丄平面ABCD 于G ,贝U G必在AD上，由EF //平面ABCD .
a
••• FG为EF与平面ABCD的距离，即FG=2
2
答案：-
2
三、5.(1)证明：由于BC i// AD i,贝U BC i / 平面ACD i
同理，A i B //平面ACD i，则平面A i BC i /平面ACD i
（2）解：设两平行平面A i BC i与ACD1间的距离为d则d等于D i到平面A i BC i的距离.
易求A i C i=5, A i B=2 75 , BC i= , 则cosA i BC i=^f^，则sinA i BC i nX61，则S gs =佑,
J65 J65
1
由于V D I A i BC i V B AiC i D i，则3 S
3
f----
行平面间的距离为I2型.
61 A i BC i
1 1 12/61
-d=—(― AD i C i D i) • BB i,代入求得d= -------------- ，即两平
⑶解：由于线段B i D i被平面A i BC i所平分，则B i、D i到平面A i BC i的距离相等，则由
12^61
61 .
⑵知点B i到平面A i BC i的距离等于
6.解：（1）连结DB交AC于0,连结E0,
又 DO = Z , AC=屁,EO=^=a ,.・.&EAC 卫 a
2 cos45 2
⑵•/ A i A 丄底面 ABCD ，二 A i A 丄 AC ,又 A i A 丄 A i B i 二A I A 是异面直线 A i B i 与AC 间的公垂线
又 EO // BD i , O 为 BD 中点，••• D i B=2EO=2a •- D i D=72a ,.・. A i B i 与 AC 距离为 42 a
⑶连结B i D 交D i B 于P ,交EO 于Q ,推证出B i D 丄面EAC
•••△ EA i F 为等腰直角三角形，/ EA i F=90
• A i N=i 旦
2 2
a A 到平面BCC i B i 的距离为一 2
•- a=2，•所求距离为
⑵设BC 、B i C i 的中点分别为 D 、D i ，连结AD 、DD i 和A i D i ，则DD i 必过点N ，易证 ADD i A i 为平行四边形.
••• B i C i 丄 D i D,B i C i 丄 A i N •- B i C i 丄平面 ADD i A i ••• BC 丄平面 ADD i A i
得平面ABC 丄平面ADD i A i ,过A i 作A i M 丄平面ABC ,交AD 于M ,
过A i 作A i N 丄EF ，则 N 为EF 中点，且 A i N 丄平面BCC i B i 即A i N 为点A i 到平面
BCC i B i 的距离
•- B I Q 是三棱锥B i — EAC 的高，得
B i Q=3a
2
v B i EAC
3 琴/ l a V a '
7.解：（1） •/ BB 1 丄 A i E , CC i 丄 A i F , BB i // CC i ••• BB i 丄平面 A i EF 即面 A i EF 丄面BB i C i C 在 Rt △ A i EB i 中, •••/
A i
B i E=45 ° ,
运
•- A i E^ — a,同理
A i
B i =a
72
J 2
A i F=——a,又 EF=a ,.・. A i E=——a
2 2
同理A I F = ——a,又EF=a
2
又••• AA i //面 BCC i B ,
若A I M=A I N，又/ A i AM = / A i D i N , / AMA i = / A i ND i=90 °•••△AMA i^A A i ND i,.・.AA i=A i D i= J3,即当AA i=73 时满足条件.
8.解：(1) •/ BC // AD,BC 面PAD //面PBC
从而AD与PC间的距离就是直线AD与平面PBC间的距离.
过A作AE丄PB, 又AE丄BC ••• AE丄平面PBC, AE为所求.
在等腰直角三角形PAB中，FA=AB=a ••• A E=¥a
2
⑵作CM // AB，由已知cosADC=—J5
5
1 1
• tanADC=2,即CM=2DM
••• ABCM 为正方形，AC= 72 a,PC= J3 a
过A作AH丄PC,在Rt△ FAC中，得AH= —
3
F面在AD上找一点F，使PC丄CF
取MD中点F,A ACM、△ FCM均为等腰直角三角形
•••/ ACM+ / FCM =45° +45 ° =90°
••• FC丄AC即FCL PC••在AD上存在满足条件的点F.
责任编辑：贾亦正。