E ?dS
S
1 e0
s
0 S1
-
1 e0
rr P ?dS
S
令 q0 0S1 代入上式并移项，得
( ) 蝌Ò r r r
S
e0E + P ?dS
q0
定义：电位移矢量 D 0E P
蝌Ò 则可得有电介质
时的高斯定理
rr
D ?dS
S
q0
电位移线的描画方法同电场线的描画。垂直于电
位移线单位面积上通过的电位移线数目等于该点
1
( ) e0
s 0S1 -
rr
蝌 蝌 P?dS

S2

s
¢S2
+
E
+
+
+
+
+
+
+
P
+
+
Pr?d0Sr- - - - - - - - -
S
S1

由于S1在导体中，P 0
S2

又 P
rr
rr
蝌Ò P?dS S
蝌 P?dS S2

PS2
S2
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蝌乙 蝌 r r

q0
4r 2
er
电极化强度
0
P
与
q0
40 rr 2
er

q0
4r 2


r
r
1
er
r 有关，是非均匀极化。在电介
质内部极化电荷体密度等于零，极化面电荷分布
在与金属交界处的电介质表面上（另一电介质表
面在无限远处），其电荷面密度为



P

en
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P 0(r 1)E
有电介质存在时的高斯定理的应用
（1）分析自由电荷分布的对称性，选择适当的高斯面 求出电位移矢量。
（2）根据电位移矢量与电场的关系，求出电场。 （3）根据电极化强度与电场的关系，求出电极化强度。 （4）根据束缚电荷与电极化强度关系，求出束缚电荷。
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例题7-28 一半径为R的金属球，带有电荷q0,浸埋在均 匀“无限大”电介质（电容率为ε ），求球外任一点P

E2d2



d1
1

d2
2


q S

d1
1

d2
2

q=σS是每一极板上的电荷，这个电容器的电容为
q
S
C VA－VB d1 d 2
1 2
可见电容电介质的放置次序无关。上述结果可
以推广到两极板间有任意多层电介质的情况（每一层
的厚度可以不同，但其相互叠合的两表面必须都和电
例题7-29 平行板电容器两板极的面 +
积为S，如图所示，两板极之间充有
两层电介质，电容率分别为ε1 和ε2 ，
1
厚度分别为d1 和d2 ，电容器两板极
S2
上自由电荷面密度为±σ。求（1）
E1
在各层电介质的电位移和场强，（2） D1 两层介质表面的极化电荷面密度（3）
电容器的电容.AΒιβλιοθήκη d1S1 2
1
S2 ，如图中左边虚线所示，这一闭合 面内的自由电荷等于正极板上的电荷，
S2
按有电介质时的高斯定理，得
E1
D1

S1
2
E2 D2
D S D1 S＝S
A
再S1 利用D1＝1E1
,
D2＝
2
E2
可求得

d1

d2
B
E1 1 r1 0
E2 2 r 2 0

即在D两1电＝介质1E内1，, D电2位＝移D2 E1和2
D2
的量值相等。由于
所以 E1 2 r 2 E2 1 r1
可见在这两层电介质中场强并不相等，而是和
电容率（或相对电容率）成反比。
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为了求出电介质中电位移和场强 +
的大小，我们可另作一个高斯闭合面
电位移的量值，称为电通量。
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从有电介质时的高斯定理可知：通过电介质中任一 闭合曲面的电位移通量等于该面包围的自由电荷的代 数和。

+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
E线

+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
D线
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电场线起于正电荷、止于 负电荷，包括自由电荷和 极化电荷。
方向都是由左指向右。
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（2）由于介质内场强
E1 E0 E

即：

r1 0 0 0
所以
1

1
1
r1

2

1
1
r2

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（3）正、负两极板A、B间的电势差为
VA－VB＝E1d1




q0
4R2


r
r
1

因为εr >1，上式说明σ’恒与q0反号，在交界 面处自由电荷和极化电荷的总电荷量为
q0


r 1
r
q0

q0
r
总电荷量减小到自由电荷量的1/εr倍，这是离球 心r处P点的场强减小到真空时的1/εr倍的原因。
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§7-9 有电介质时的高斯定理 电位移
一、有电介质时的高斯定理 电位移
在有电介质存在的电场中，高斯定理仍成立，
但要同时考虑自由电荷和束缚电荷产生的电场
总电场
自由电荷
òÑ å r r
E ?dS
S
1 e0
Sn
( q0 + q¢)
极化电荷
上式中由于极化电荷一般也是未知的，用其求解电
场问题很困难，为便于求解，引入电位移矢量，使
D

q0
4r 2
er

因 D E , 所以离球心r 处P点的场强为
E

D


q0
4 r 2
er

q0
40 rr 2
er

E0
r
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结果表明：带电金属球周围充满均匀无限大电介
质后，其场强减弱到真空时的1/εr倍, 可求出电极化强 度为
P
电位移线起于正的自由电 荷，止于负的自由电荷。

+
+
+
+
电极化强度矢量线起于正的 极化电荷，止于负的极化电 荷。只在电介质内部出现。
+
+ + +
+
+
P线
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二、D、E、P 三矢量之间关系

D 0E P




D 0r E E
E2 D2
d2
B
解：（1）设场强分别为E1 和E2 ，电位移分别为D1 和D2 ，E1和E2 与板极面垂直，都属均匀场。先在两 层电介质交界面处作一高斯闭合面S1，在此高斯面内 的自由电荷为零。由电介质时的高斯定理得
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D

dS

D1S＋D2S＝0
S1
所以 D1＝D2
的场强及极化电荷分布。
解:

金属球是等势体，介质以球体
P
r
球心为中心对称分布，可知电
场分布必仍具球对称性，用有 电介质时的高斯定理来。
R Q0
S
高斯面：过P点作一半径为r
并与金属球同心的闭合球面S，
由高斯定理知
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D

dS
D4r 2

q0
所以
D

q0
4r 2
写成矢量式为
容器两极板的表面相平行）。
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选择进入下一节 §7-0 教学基本要求 §7-1 物质的电结构 库仑定律 §7-2 静电场 电场强度 §7-3 静电场的高斯定律 §7-4 静电场的环路定律 电势 §7-5 电场强度与电势梯度的关系 §7-6 静电场中的导体 §7-7 电容器的电容 §7-8 静电场中的电介质 §7-9 有电介质时的高斯定律 电位移 §7-10 静电场的能量
右端只包含自由电荷。
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设无限大平行板间充满均匀电介质,两极板所带自由电 荷面密度为 0
电介质极化后两表面极化电荷面密度为
取圆柱形高斯面如图中虚线 所示,则
0

+ -
+ -
+ -
+ -
+S1+ + --
+ -
+ -
+ -
蝌 Ò
r E
r ?dS
S
蝌Ò
r P
r ?dS