单一样本中位数的符号检验例题
某钢厂生产的钢材,在正常情况下,中位数的长度为10米。

现随机地从生产线上抽取10根,测得长度(单位:米)如下:
9.8 10.1 9.7 9.9 10 10 9.8 9.7 9.8 9.9 试问:生产过程中对长度的控制是否需要适当调整。

解: 该例要解决的问题是:在生产过程中钢材的程度在中位数10米上下各占一半的情形下,就不需要调整生产过程。

否则,多数过长或多数过短均需要调整。

因而,假设可陈述为:
10:0=e M H 10:1≠e M H
进行正负符号检验时,可以将样本中每根的长度减去中位数,大者为正号(+),小者为负号(-),计算结果如表16.15。

从表16.15可以看出:10个样本单位中,除有两个与中位数相同外,余下的8个为1正7负。

如果进一步用精确的测量仪器进行测量,则与中位数相同的2个单位也可以区分为正号或负号。

现假定为1个正号1个负号。

这样,10个样本单位中就有2正8负。

如果总体的中位数为10,那么,理论上出现正号和负号应该各占一半。

现在,我们的问题是:出现2个或2个以下正号的概率是多少?我们用二项分布5.0=p 来计算:
()0547.05.02102
10
==
≤∑=x x C
x P
由于1H 是一个双尾检验,因此,也应包括负号在2个或2个以下的概率,因此,1094.00547.02=⨯=P 。

这就是说,当中位数为10时,出现上述结果的概率为0.1094,当05.0=α时,不能否定0H 。

决策人员可以据此，结合其他因素作出是否需要调整生产过程的决策。

在大样本情况下,用二项分布计算概率比较复杂,也可以用正态近似计算:
n
n s z 5.05
.05.0--=++,
n
n s z 5.05
.05.0--=
--
(16.6)
其中:+s 代表正号的数目,n 5.0表示在5.0=p 条件下正号或负号的平均数目(理论数目),0.5称作校正项,分母n 5.0为5.0=p ,样本容量为n 时的标准差。

当1α-≥z z 时否定0H 。

假如上例样本容量为36的大样本,各样本单元观察值与中位数之离差为正号有10个,此时,我们可以计算得到:
83.236
5.05
.0365.0105.05
.05.0-=-⨯-=
--=
++n
n s z
取绝对值为183.2α->z ,否定0H 。

5.236
5.05
.0365.0265.05
.05.0=-⨯-=
--=
--n
n s z
数值215.2α->z ,同样否定0H 。