因此
Z
若令
Z
2
2 p
2 Zm y' 2 m
Z


1 y'
2 m
2
dZ Zp 2 exp cot Z Z
（18） （19）
（17）
A Z Z
2


dZ Zp 2 exp cot Z Z
2 2 B Zp Zm
则：
2010 年 8 月 19 日星期四
由上两式可以进一步得到圆周方向应力和断面方向应力的关系：
Ty Tx tan 2
斜 交 轮 胎 的 自 然 平 衡 轮 廓 理 论
由上式和公式xx可以进一步得到圆周方向应力和内压的关系：
Tx p tan2 Rs 1 Rt
薄膜网络理论中薄膜的振动传播速度Vc：
2010 年 8 月 19 日星期四
四、描述轮胎自然断面形状的一般数学公式： 帘线角度是胎体帘线相对于轮胎圆 周方向的角度。帘线角度沿着帘线轨迹 ，随着半径不断变化。但若在胎冠最大 直径处的帘线角度已知，则帘线的轨迹 可以充分描绘出来。 根据公式（1）和右图的几何关系， 可以求出胎冠中心点的帘线角度ap：
2Z y" cot 2 2 2 2 Z Z m y' 1 y' Z


（11）
12
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2010 年 8 月 19 日星期四
将上个公式（11）进行偏微分处理得到：
斜 交 轮 胎 的 自 然 平 衡 轮 廓 理 论
（15）
2010 年 8 月 19 日星期四
考虑到当Z=Zp时，
斜 交 轮 胎 的 自 然 平 衡 轮 廓 理 论
2 2 Z p Zm y' log 2 2 2 Z Z 1 y ' m


y


，则：
Zp dZ 2 cot Z Z
（16）
轮
胎
力
学
简
介
2009年5月
1
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2010 年 8 月 19 日星期四
公元前3500多年，黄帝的大臣溪仲发明了车 和车轮 中国的木质车轮使用了4000多年，一直到民 国后期 轮 胎 的 重 要 性 和 历 史 发 展 缺点： 木质，振动大，缓慢行驶，易损坏， 载荷能力差
1 y'
y' '
2 32
dZ Zp 2 Rs exp cot Z 2 2Z 2 Z m Z 2 cot 2 Z
2 Z Z p Zm


B dA dZ
2
（21）


（22）
上面的公式（20）和（22）就是没有带束的轮胎自然平衡轮廓的 断面形状的一般数学表达式，在知道Z和帘线角度a的情况下可以 得到断面曲率半径Rs和点坐标（y,Z）
2010 年 8 月 19 日星期四
4
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轮胎——高科技复合材料壳体
1.轮胎结构复杂：多层材料组成的双曲率复合材料壳体。 2.生产工艺复杂：经过密炼、混炼、压延、压 出、成型、硫化等多个步骤 3.材料特性复杂： 橡胶——非常柔韧，模量在10Mpa 左右。 聚酯连线——柔韧，模量在2000～ 5000Mpa左右 钢丝——刚性很大，模量在100000Mpa 以上
GZ
Z
Z
2 m
Z
2 2 p
Z
Z
2 p
2 m
Z 2 Z p Z 2 cos 2 p
2

sin p Z Z
2 m

2 2
Z12Fra bibliotek2 p
Z cos p
2 2

12
（30）
那么斜交轮胎的自然平衡轮廓断面形状可以用下式表示：
y G Z dZ
三、薄膜网络理论 薄膜网络理论中轮胎内压p和 断面半径Rs以及外径Rt的关 系 Ty Tx p （2） Rs Rt 其中Ty和Tx分别是帘线所受断 面方向应力和周向应力
Tx Tc cos 2 Ty Tc sin 2
8
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2010 年 8 月 19 日星期四
再其次，每单位长度的根数和总根数之间的关系为：
斜 交 轮 胎 的 自 然 平 衡 轮 廓 理 论
N n 2Z sin
（7）
将上面公式（5）、（6）、（7）进行联立，可以得到如下关系：
2Z 1 cot 2 2 2 Z Z m Rs sin Z
斜 交 轮 胎 的 自 然 平 衡 轮 廓 理 论
Zp cosα α p arcos Z
（3）
P点为胎冠中心轮胎直径最大点 M点为断面水平轴断面最宽点 B点为轮辋点
10
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2010 年 8 月 19 日星期四
B Rs dA dZ cos 1 A B sin A B
2
（27） （28） （29）
16
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2010 年 8 月 19 日星期四
若令： 斜 交 轮 胎 的 自 然 平 衡 轮 廓 理 论
五、斜交轮胎的自然断面形状： 前面已经得到斜交轮胎半径坐标Z和帘线角度a之间的关系：
Zp cosα α p arcos Z
（23）
将它代入绿色公式可以得到斜交轮胎的自然平衡轮廓断面形状：
15
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2010 年 8 月 19 日星期四
轮胎设计阶段的力学应用： 薄膜网络理论 自然平衡轮廓理论 基于两个理论的轮胎胎体骨架材料设计
轮 胎 力 学 所 涉 及 的 应 用 范 围
轮胎使用特性的解析解法 轮胎承载能力和内部受力分析 轮胎变形分析 轮胎接地印痕分析及干湿路面牵引性能分析 轮胎滚动阻力和温度场分析 轮胎动态力学性能及侧偏特性分析 轮胎振动和噪声分析 轮胎磨耗特性分析 轮胎力学性能的有限元解法： 帘线橡胶复合材料力学 有限元理论 轮胎有限元仿真技术 帘线/橡胶性能参数准备 操作流程 结果解析和应用
Zp
（31）
用不同的胎冠中央帘线角 ap对 上式（31）进行积分，得到轮胎 的胎体内轮廓曲线如图所示。 Michelin
（5）
tc为单根帘线的张力，n为单位宽 度帘线根数 在左图的Q点处，求作用在帘线上的张力与半径的关系，从圆环上压力所产生的力 与通过Q点的圆周作用的张力相互平衡的条件可以得到：
2 Ntc sin sin pZ 2 Z m
（6）
其中N为整个圆周的帘线总根数
11
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根据公式（2）和左图，可进一步得 到轮胎内压p和帘线张力Tc的关系
斜 交 轮 胎 的 自 然 平 衡 轮 廓 理 论
Tc sin 2 Tc cos 2 sin p Rs Z
（4）
Tc为帘线每单位宽度的张力，而 且Tc=ntc，从而得到：
p sin 2 cos 2 sin ntc Rs Z
2ZdZ dy ' cot 2 dZ 2 2 2 Z Z m y' 1 y' Z


（12）
将上式进行变形：
dZ 2 dy ' dy '2 cot 2 dZ 2 2 2 Z Zm y' 2 1 y' Z


（13）
对上式进行两边积分：
log Z Z
2

2 m
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y
斜 交 轮 胎 的 自 然 平 衡 轮 廓 理 论
其中：
Z
A B A
2
2
Zp
2
dZ
（24）
Z A
m
Z
2
Z
2 p
Z cos p
2 2

12
Z p sin p
2
（25） （26）
2 B Z p Zm
表示断面曲率半径和角度ϑ的公式为：
sin y ' 1 y '2 Rs 1 y '2
将上面的两个公式（8）、 （10）整理可得：
（8）
当断面形状用函数y=y(Z)表示时，根据微分几何可得：
从帘线上一个点的受 力分析开始，逐步消 除公式中与应力或张 力有关的变量，得到 纯几何关系




12
（9） （10）
3 2
y"
2010 年 8 月 19 日星期四
3
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轮 胎 的 重 要 性 和 历 史 发 展
1888年: 英格兰人J.B 邓录普先生取得了充气轮胎发明 专利，并在自行车上流行，后又推广到汽车上。 1930年： 米其林制造出第一个无内胎轮胎 1946年： 米其林发明了子午线轮胎
Vc Tx
将yy式代入到上式中，考虑到Rs<<Rt，进行近似计算，可以得到轮胎圆周上横波 的传播速度公式：