第五章 第一单元曲线运动 第二单元圆周运动人教版【同步教育信息】一. 本周教学内容：第五章 第一单元曲线运动 第二单元圆周运动二. 知识要点：（一）全章考点要求说明：不要求会推导向心加速度的公式rv a 2= （二）知识要点1. 运动的合成和分解 （1）运动的独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，互不影响。

（2）运动的合成：加速度、速度、位移都是矢量，遵守 。

两分运动在同一直线上时，同向矢量大小 ，反向矢量大小 。

两分运动不在同一直线上时，按照平行四边形定则进行合成，如图1所示。

图1两分运动垂直时或正交分解后的合成a 合＝22y x a a + v 合＝22y x v v + s 合＝22y x s s +（3）运动的分解：是运动合成的逆过程。

分解原则：根据运动的实际效果分解或正交分解。

2. 曲线运动（1）曲线运动的特点：运动质点在某一点的瞬时速度的方向，就是通过这一点的曲线的 方向。

因此，质点在曲线运动中的速度方向时刻在 ，所以曲线运动一定是 运动。

但是，变速运动不一定是曲线运动。

（2）物体做曲线运动的条件：从运动学角度说，物体的加速度方向跟速度方向 时，物体就做曲线运动。

从动力学的角度说，如果物体所受合外力的方向跟物体的速度方向 时，物体就做曲线运动。

3. 平抛运动（1）定义： 抛出的物体只在 作用下的运动。

（2）性质：是加速度为重力加速度g 的 曲线运动，轨迹是抛物线。

（3）处理方法：可分解为水平方向的速度等于初速度的 运动。

v x ＝v 0，x ＝v 0t竖直方向的 运动。

v y ＝gt y ＝221gt 。

下落时间ｔ＝g y /2（只与下落高度y 有关，与其他因素无关）。

任何时刻的速度v 及v 与v 0的夹角θv ＝220)(gt v + θ＝arctan （gt/v 0）任何时刻的总位移：s ＝22y x +＝2220)21()(gt t v + 4. 圆周运动描述圆周运动的物理量（1）线速度物理意义：描述质点沿圆周运动的 。

方向：质点在圆弧某点的线速度方向沿圆孤该点的 方向，与过该点的半径 。

大小：v=ts （s 是t 时间内通过的弧长）。

（2）角速度物理意义：描述质点绕圆心转动的 。

大小：ω＝tϕ(rad ／s)ϕ是连接质点和圆心的半径在t 时间内转过的角度。

（3）周期T ，频率f做圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期（用T 表示）。

做圆周运动的物体单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数，叫做频率，也叫转速（用f 或n 表示）。

（4）v 、ω、T 、f 的关系：：T ＝f1 f T ππω22== fr r T r v ππω22=== 注意：T 、f 、ω三个量中任一个确定，其余两个也就确定了。

（5）向心加速度物理意义，描述 改变的快慢。

大小：r Tr f r r v a 22222244ππω==== 方向：总是指向 。

所以不论a 的大小是否变化，它都是个变化的量。

（6）向心力作用效果：产生向心加速度，只改变线速度的 ，不改变线速度的 ，因此，向心力 功。

大小：F ＝ma ＝m r v 2＝m ω２r ＝mr f r Tm 222244ππ= 方向：总是沿半径指向圆心，向心力是个变力。

匀速圆周运动（1）特点：匀速圆周运动是 不变的运动。

因此它的角速度、周期和频率都是 。

物体受的合外力全部提供向心力。

（2）质点做匀速圆周运动的条件：合外力大小 ，方向始终与速度方向 。

（三）一般的圆周运动（非匀速圆周运动）速度的大小有变化，向心力和向心加速度的大小也随着变化，公式v ＝ωr 、a ＝r rv 22ω=，F ＝r m r v m 22ω=对非匀速圆周运动仍然适用，只是利用公式求圆周上某一点的向心力和向心加速度的大小，必须用该点的瞬时速度值。

三. 疑难解析：1. 匀变速曲线运动与非匀变速曲线运动的区别：加速度a 恒定的曲线运动为匀变速曲线运动，如平抛运动。

加速度a 变化的曲线运动为非匀变速曲线运动，如圆周运动。

2. 对运动的合成和分解的讨论（1）合运动的性质和轨迹两直线运动合成，合运动的性质和轨迹由分运动的性质及合初速度与合加速度的方向关系决定。

两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动；一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动仍是匀变速运动：二者共线时为匀变速直线运动，二者不共线时为匀变速曲线运动。

两个匀变速直线运动的合运动仍为匀变速运动：当合初速度与合加速度共线时为匀变速直线运动；当合初速度与合加速度不共线时为匀变速曲线运动。

（2）轮船渡河问题的分解方法一：将轮船渡河的运动看作水流的运动（水冲船的运动）和轮船相对水的运动(即设水不流动时船的运动)的合运动。

方法二：将船对水的速度沿平行于河岸和垂直于河岸方向正交分解，如图2所示，则（v 1－v 2cos θ）为轮船实际上沿水流方向的运动速度，θsin 2v 为轮船垂直于河岸方向的运动速度。

图2① 要使船垂直横渡，则应使v 1—v 2cos θ＝0，此时渡河位移最小，为d② 要使船渡河时间最短，则应使v 2sin θ最大，即当θ＝90º时，渡河时间最短，为t ＝d ／v 2。

（2）物体拉绳或绳拉物体运动的分解——按运动的实际效果分解。

例如，图3中，人用绳通过定滑轮拉物体A ，当人以速度v 0匀速前进时，求物体A 的速度。

图3首先要分析物体A 的运动与人拉绳的运动之间有什么样的关系。

物体A 的运动（即绳的末端的运动）可看作两个分运动的合成：一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短，绳长缩短的速度即等于v 0；二是垂直于绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长，只改变角度θ的值。

这样就可以将v A 按图示方向进行分解，很容易求得物体A 的速度v A ＝θcos 0v 。

当物体A 向左移动，θ将逐渐变大，v A 逐渐变大；虽然人做匀速运动，但物体A 却在做变速运动。

在进行速度分解时，要分清合速度与分速度。

合速度就是物体实际运动的速度，是平行四边形的对角线，虽然分速度的方向具有任意性，但只有按图示分解时，v 1才等于0v ，才能找出v A 与v 0的关系，因此，分速度方向的确定要视题目而具体分析。

在上述问题中，若不对物体A 的运动认真分析，就很容易得出v A =v 0cos θ的错误结果。

3. 平抛运动中，任意一段时间的速度变化量Δv ＝gt ，方向恒为竖直向下，如图4所示。

同理，任意两段相等时间的速度变化量都相等。

图4特别提示：物体做曲线运动的轨迹情况无外乎以下三种情况：物体的加速度a 与其速度v 之间的夹角为锐角、直角或钝角，如图5所示。

物体做曲线运动的轨迹总在a 与v 两方向的夹角中，且和v 的方向相切，向加速度一侧弯曲。

图54. 在分析传动装置的各物理量时，要抓住不等量和相等量的关系。

同轴的各点角速度ω相等，而线速度v ＝ωr 与半径r 成正比，向心加速度a ＝rv 2与半径成正比。

在不考虑皮带 打滑的情况下，传动皮带与皮带连接的两轮边缘的各点线速度大小相等，而角速度ω＝rv 与半径r 成反比，向心加速度a ＝rv 2与半径成反比。

5. 处理圆周运动的动力学问题时，在明确研究对象以后，首先要注意两个问题：（1）确定研究对象运动的轨道平面和圆心的位置，以便确定向心力的方向。

例如。

沿半球形碗的光滑内表面，一小球在水平面上做匀速圆周运动，如图6所示。

小球做圆周运动的圆心在与小球同一水平面上的O 点，不在球心O ，也不在弹力F N 所指的PO 线上。

图6（2）向心力是根据力的效果命名的。

在分析做圆周运动的质点受力情况时，切不可在物体的相互作用力（重力、弹力、摩擦力等）以外再添加一个向心力。

6. 圆周运动的临界问题：（1）如图7和图8所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：图7 图8 ① 临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：mg ＝m rv 2，v 临界＝gr ； ② 能过最高点的条件：v ≥gr ，当v>gr 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力； ③ 不能过最高点的条件：v<gr （实际上球还没到最高点时就脱离了轨道）。

（2）如图9的球过最高点时，轻质杆对球产生的弹力情况：图9 图10①当v＝0时，F N＝mg（F N为支持力）；②当0<v<gr时，F N随ｖ增大而减小，且mg＞F N>0，F N为支持力；③当v＝gr时，F N＝０；④当ｖ>gr时，F N为拉力，F N随v的增大而增大。

若是图10的小球在轨道的最高点时，如果v≥gr，此时将脱离轨道做平抛运动，因为轨道对小球不能产生拉力。

【典型例题】[例1] 在卢瑟福的α粒子散射实验中，某一α粒子经过某一原子核附近时的轨迹如图1所示。

图中P、Q为轨迹上的点，虚线是经过P，Q两点并与轨迹相切的直线，两虚线和轨迹将平面分为四个区域。

不考虑其他原子核对α粒子的作用，则关于该原子核的位置，正确的是（）A. 一定在①区域B. 可能在②区域C. 可能在③区域D. 一定在④区域图1解析：粒子运动时，受到原子核排斥力的作用，而做曲线运动。

粒子的轨迹一定是在合外力方向和速度方向之间将各区域内任何一点分别与P、Q两点相连并延长（即α粒子受到原子核的力的方向），可发现在②③④区域的点，其轨迹不在力方向和速度方向之间；在①区域的点的轨迹都在力方向和速度方向之间，因此A项正确。

说明：物体做曲线运动的条件是所受合外力不为零，且运动方向不平行，合外力的方向一定指向轨迹的内侧。

[例2] 一艘小船从河岸的A 处出发渡河，小船保持与河岸垂直方向行驶，经过10 min 到达正对岸下游120 m 的c 处，如图2所示。

如果小船保持原来的速度逆水斜向上游与河岸成α角方向行驶，则经过12.5min 恰好到达正对岸的B 处，求河的宽度。

图2解析：解决这类问题的关键是画好速度合成的示意图，画图时首先要明确哪是合运动哪是分运动。

对本题来讲，AC 和AB 是两个不同运动过程中船相对于岸的实际运动方向，那么AB 和AC 就是速度合成平行四边形的对角线。

一旦画好平行四边形。

剩下的工作就是根据运动的等时性以及三角形的边角关系列方程求解了。

设河宽为d ，河水流速为v 水，船速为v 船，船两次（运动的速度合成如图3和4所示。

）图3 图4 第一次渡河与第二次渡河在垂直岸的方向上位移相等，则v 船t 1=v 船vsin αt 2 ① 第一次渡河沿水流方向上位移为BC ，则BC=v 水t 1 ②由图4－1—9可得船的合速度：v ＝v 水tan α，所以河的宽度为d=vt 2＝v 水tan αt 2 ③ 由①式得sin α＝0.8，故tan α＝34 由②式得 v 水＝12 m ／min代入③式可得河宽d=12×34×12.5 rn ＝200 m深化拓展：（1）若渡河过程中水流的速度突然变大?是否影响渡河时间，是否影响到达对岸的地点？（2）如果v 船<v 水，小船还能不能到达对岸的B 点？这时的最小位移该如何求？[例3] 一次用闪光照相方法研究平抛运动规律时，由于某种原因只拍到了部分方格背景及小球的3个瞬时位置A ，B ，C ，如图5所示若已知每格长度为5 cm ，求：（1）小球的抛出时速度大小；（2）小球经B 点时的竖直分速度大小。