vi =1
θi=1
uj=1
vj=1
vi=1
1 1 3EI 3EI l2 l2
3EI 3EI l3 l3
x x
Ni
EA l
0
3EI l3
0
3EI l2
EA l
0
3EI l3
l l y y
3EI 3EI l l
Qi
0ii 0
1 1
θi=1
x x l l
3EI 3EI l2 l2
0 0
EA l
12EI l3
6EI l2
x
Mj
6 EI l2
2 EI l
6 EI l2
4 EI l
l
x =1 θ
j
2EI l
y
0j 1
4EI l
EI
2
x
2EI l
y
6EI l2
x
0j
4EI 6EIl 1 l2 6EI l2
x
EI
2
6EI l2
l
分别填写在ui=1 ，vi =1 ，θi=1， uj=1，vj=1， θj=1 作用下，杆左右端截面的轴力、剪力、弯 矩及右端截面的轴力、剪力、弯矩。由此可得 单元的刚度方程：
第三节 单元刚度方程和单元 刚度矩阵
单元的杆端力和杆端位移之间的关系是通过单元刚
度方程反映出来的，本节重点掌握单元刚度矩阵中 每个刚度系数的物理意义，由此求得不同杆单元的 刚度矩阵。
（1）单元刚度方程

单元的刚度方程：
F (e) K (e)δ(e)
– 单元的刚度方程给出了单元的杆端位移δ(e) 与杆端 力F(e)之间的关系. – 其中矩阵K(e) 称为单元刚度矩阵。 单元刚度矩阵是 一个方阵. 它的阶数和内容视单元而定。如杆端位 移δ(e)和杆端力F(e)为6阶向量，则K(e)为6X6方阵。



T
单元杆端位移向量可表示为 ：
(e)
FQj
T
E F3 F1 C F2 F5 F4
或： F (e) N Q M N Q i i i j j


T
根据单元的刚度矩阵的物理意义,由梁单元受力和变形可以 列出该单元的单元刚度矩阵为:
平面一端刚结点另一端铰结点梁单元的单元刚度矩阵
y y vii v
ui=1
3EI 3EI l3 l3
若单元 i 端为刚结点， j 端为铰结点, 则单元刚度 矩阵为:
K (e)
EA 0 l 0 3EI l3 3EI 0 l2 EA 0 l 0 3EI l3
0 3EI l2 3EI l 0 3EI l2
EA 0 l 0 3EI l3 3EI 0 l2 EA 0 l 3EI 0 l3
F1 k11 F k 2 21 F3 k31 F4 k 41 F5 k51 F6 k61 k12 k 22 k32 k 42 k52 k62 k13 k 23 k33 k 43 k53 k63 k14 k 24 k34 k 44 k54 k64 k15 k 25 k35 k 45 k55 k65 k16 u1 k 26 u2 k36 u3 k 46 u4 k56 u5 k66 u6
0 6 EI l2 4 EI l 0 6 EI l2 2 EI l

0 12 EI l3 6 EI l2 0 12 EI l3 6 EI l2
平面两端刚节点梁单元的单元刚度矩阵为:
EA l 0 0 EA l 0 0 0 12 EI 3 l 6EI 2 l 0 12 EI 3 l 6EI 2 l 0 6EI 2 l 4EI l 0 6EI 2 l 2EI l EA l 0 0 EA l 0 0 0 12 EI 3 l 6EI 2 l 0 12 EI 3 l 6EI 2 l 0 6EI 2 l 2EI l 0 6EI 2 l 4EI l
单元刚度矩阵物理意义
利用矩阵乘法,展开可得：
F1 k11u1 k12u2 k13u3 k14u4 k15u5 k16u6 F2 k 21u1 k 22u2 k 23u3 k 24u4 k 25u5 k 26u6 F3 k31u1 k32u2 k33u3 k34u4 k35u5 k36u6 F4 k 41u1 k 42u2 k 43u3 k 44u4 k 45u5 k 46u6 F5 k51u1 k52u2 k53u3 k54u4 k55u5 k56u6 F6 k61u1 k62u2 k63u3 k64u4 k65u5 k66u6
• 铰支端一般只有两个位移需计算. 铰结点的转角位移可认为 它是不独立的而不予考虑. 这样单元的杆端位移向量及杆端 力向量都只有五阶. 单元刚度矩阵为5×5:
E
F (e) K (e)δ(e)
如梁右端为铰结点，则：
δ
(e)
C

{ui
vi i
FQi
uj
Mi
v j}
FNj
T
A B
F Ni F
EA 0 EA 0 0 l l 3EI 3EI 3EI 0 0 3 3 2 l l l (e) EA 0 0 0 K EA l l 3EI 3EI 0 3EI 0 3 3 2 l l l 3EI 3EI 0 3EI 0 2 2 l l l
0 0
EA l
3EI 3EI l2 l2
Mi
Nj
vjj v
1 1
3EI l2
3EI l
3EI l2
vj=1
3EI 3EI l2 l2 3EI 3EI l3 l3
0
3EEI l3
3EI 3EI l3 l3
Qj
0
l l
0
分别填写在ui=1 ，vi =1 ，θi=1， uj=1，vj=1， 作用下，杆左右端 截面的轴力、剪力、弯矩及右端截面的轴力、剪力。由此可得单 元的刚度方程：
Ni
y
x
EA 6EI 12EI ll
l3
0
l
12EI l3
vj
0x
x
1
EA l
0
0
6EI l2
12EI l3
l
12EI l3
l
Qi
x x
12EI l3
0 0
l
12 EI l3
0j 1
12EI l3
6EI l2
6 EI l2
x 4 EI
0 0
EA l
6 EI 12 EI 2 l l3
EI l
K
(e)
• 单元刚度矩阵常用子块形式表示:
K (e )

( K iie ) (e ) K ji ( K ije ) (e ) K jj
其中每个都是3×3的方阵，子块 K(e)ij表示杆端j 作用一单 位位移时, 杆i 端引起的杆端力。
（4）一端刚结点另一端铰结点 的梁单元
则刚度矩阵：
1 0 (e) K 1 0
0 1 0 0 0 0 EA 0 1 0 l 0 0 0
（3）平面两端刚结点梁单元
• 平面两端刚节点梁单元在一般情况下单元上作用着杆端力： 轴力、剪力和弯矩，单元的刚度方程为：
F
(e)
K δ
(e)
(e)
Mj
x
FNj
y
EI l
y ui
ui
1
EA l
l
EI l
x
EI l
ui
1
1
ui=1
y vi
1
l
EA l
x
y x
6EI l2
2
u 平面梁单元的单元刚度矩阵
l
j
EIj u l
1
x
1
l
l
12EI l3
ui=1
vi =1
θi=1
vj
6EI l2
uj=1
1
vj=1
θj=1
6EI l2
y 6EI vi
l 21
vi=1
6EI 12EI 2 3 l l
N N
FNi EA 0 l 0 EA FNj 0 0l
0 0 0 0
EA l 0 EA l 0
0 u i 0 v i 0 u j 0 v j
• 如：单元刚度矩阵中第i列的元素表示第i号位移为一单位 值(ui=1，其它为0) 时引起的六个杆端力。单元刚度矩阵中 的每一个元素称为刚度系数， 刚度系数表示一个力。 • 矩阵中第r行s列的元素krs，表示第s号位移为一单位值时引 起沿第r个杆端力。由反力互等定理可知 krs=ksr。 所以单元 刚度矩阵是一个对称矩阵。它的每一个元素的值都可由结 构力学中位移法的刚度方程中获得。
l2
4EI l
x
l
6 EI l2
2 EI l
Nj
EA l
6EI l2
l
l
0
6EI l2
0
6 EI l2
0
12 EI l3
0
6 EI l2
x
y
u
6EI l2
1
l
12EI l3
j
Qj
1
0 0
vj
6EI l2
12 EI l3
0 0
y