• 设计方法见书。
五、带观测器的状态反馈系统 • 在状态反馈中,不采样原系统的状态进行反 馈而采用状态观测器估计的状态进行反馈, 其结构图如下图所示.
• 状态估计器
x ( A GC ) x Bu Gy ˆ ˆ ˆ y Cx
• 原系统
x Ax Bu ˆ x Ax Bkx Bv y Cx ˆ x ( A Bk ) x Bk ( x x) Bv u v kx ˆ
• 传函不变,即
y C (sI A Bk ) B.v
1
• 显然系统的特性由矩阵的特征多项式
ˆ A Bk A 0 A GC Bk
决定.
• 由
ˆ det[ I A] det( I A Bk ) det( A GC ) 0
• 注意上述方法仅适用于SISO系统.
4.几点说明
(1).对SISO系统来说,状态反馈只改变极点位 臵,不影响零点. (2).由于改变了极点,因此可能出现零极点对 消,从而影响系统的可观性.
(3).从实现的角度,状态反馈比输出反馈 困难,复杂. (4)对SISO系统来说,极点配臵只改变了极 点在S平面上的位臵,显然不采用这种方法 难于达到系统动静性能的一致. (5).对MIMO来说,极点配臵的方法与SISO 方法是一致的,但SISO的k阵是唯一的,而 MIMO的k阵是非唯一的.
• 系统的状态估计器极点可任意配臵的充要 条件是:该系统的状态是可观的.
(3).状态估计器的设计方法. • 仿照状态反馈的极点配臵设计方法,只需先 进行可控性检验,改成可观性检查即可,其余 步骤相同.
四、降维观测器设计
• 一般情况下观测器是建立在对原系统模拟基 础上的，因而其维数和受控系统维数是相同 的，称为全维观测器（或估计器）。
T
• 即 rankQO n是式(4)极点可任意配臵的主 要条件.也就是式(3)G存在的充要条件. • 而
C CA n rankQO rank n 1 CA
• 恰好是系统(1)可观测的充要条件.
• 从而
x Ax Bu y Cx
• 估计的模型
ˆ ˆ ˆ x Ax Bu G ( y Cx) ˆ ( A GC ) x Bu Gy
(2)
(1).G的选择原则.
由(1)和(2)建立误差方程 定义 e x x 则 ˆ
ˆ e x x ( A GC )e 显然误差e的特性是由
三.状态观测器 • 在状态反馈中,有些状态是无法观测的,或无 法用物理方法量测出来,因此可用状态观测 器来解决这一问题. • 所谓状态观测器是物理上可以实现的动力 学系统,它在被观测系统输入量和输出量的 激励下,产生一组逼近于被观测系统的状态 变量的输出.
• 这组输出的状态变量便可作为被观测系统 状态变量的估计值. • 以上是状态观测器的整个设计思想和目的.
( A k T C )T 和 A k T C • 而
的特征值是相同的, • 故而 det[sI ( AT CT k )] det[sI ( A k T C )]
• 而方程(3)的特征方程为 det[sI-(A-GC)] • 从而只要 G k ,即若定义 r G z ,则.方 程(4)经过状态反馈后的(5)式,其特征值与 式(3)相同.
(A-GC)的特征值决定,显然G选择的原则是使
e
t t1
0, t1 足够地小,从而G的选择也是使
A-GC的特征根按要求放在合适的位臵上.
(2).状态观测器极点配臵的充分必要条件. • 考虑极点配臵后的方程是.
ˆ ˆ x ( A GC ) x Bu Gy (3)
• 问题可转化为,方程(3)的原系统满足何种 条件时,方程(3)中的极点才可任意配 臵,(实际上是仿照极点配臵的方法). • 或者说是构造一个系统使得经过状态反馈 后,则特征根是由A-GC所决定的.
T T
• 因此可以认为式(4)是(3)的一个原系统,这 样式(4)极点配臵的条件即是式(3)G存在的 条件.
• 显然对式(4)而言,极点可任意配臵的充要条 件是:
rank[C T , AT C T ,,( AT )n1 C T ] n
上式左边 rank[C T , (CA)T , , (CAn 1 )T ] C CA rankQOT rankQO 右边 n rank n 1 CA
• 即
g11 y( s) O
g 22
O u ( s) g pp
• 实现这一目的称为系统解耦. • 显然解耦后的传函阵是对角形且上式 ˆ x ( A Bk ) x Bke Bv (1) • 且 e ( A GC)e (2)
• 由(1)和(2)得
Bk x B x A Bk e 0 e 0 v A GC x y C 0 e
自动控制原理Ⅱ
第六章 状态反馈与状 态观测器
主要讲述: 1).状态反馈. 2).极点配臵. 3).状态观测器.
一.系统的状态反馈 • 对于方程
x Ax Bu y Cx
• 系统的性质完全是由A决定的,因此要改变 系统的性质,只需改变A的形式.
• 从数学上来讲,即构造u,从而导致下列方程 成立
(4).根据给定的一组任意特征值 1 , 2 ,, n 计算式
f ( ) ( 1 )( 2 ) ( n ) n n 1 n2 an 1 an 2 a1 a0
(5).令 f ( ) f ( ) ,并使对应幂次的系数相等,则可得 到n个关于 k1 , k2 ,, kn 为未知数的方程组. (6).解上述方程组得到 k1 , k2 ,, kn 从而得 k [k1 , k2 ,, kn ]
二.极点配臵(仅讨论单输入/单输出系统) 1.什么是极点配臵.
• 如果 k [( A Bk ), B, C ] 的全部(n个)极点可以通 过选择状态反馈矩阵k的各元素而移至S平 面任意指定的位臵,称该系统是极点可任意 配臵的。
2.极点配臵条件
• 若被控系统 0 ( A, B) 是状态完全能控的,那么 反馈系统的极点必是可以任意配臵的,或者 说,能使闭环系统极点任意配臵的条件是被 控系统完全可控.
x Ax Bu y Cx
的传函阵
G(s) C ( sI A)1 B
• 即
• 则
y C (sI A)1 Bu G(s)u
G R p p
y1 ( s ) g11 ( s )u1 ( s ) g1 p ( s )u p ( s ) y ( s ) g ( s )u ( s ) g ( s )u ( s ) p1 1 pp p p
• 考察
x Ax Bu y Cx
z AT z C T 的对偶系统 n BT z
(4)
且定义 v=r-Kz • 则
z ( AT C T k ) z C T r n BT z (5)
• 注意到 AT CT k ( A k T C )T
• 即每一个输出由多个输入控制,每一个输入 也影响多个输出,这种现象称为耦合.
• 因此希望,当u=v-kx使得一个输出只受一个 输入控制.同时一个输入也只能控制一个输 出, • 即 y ( s ) g ( s )u ( s )
1 11 1 y ( s ) g ( s )u ( s ) 2 22 2 y p ( s ) g pp ( s )u p ( s )
• 该式说明.状态反馈增益K和状态观测器增 益G将只能影响彼此的系统,即K影响 ∑(A,B,C)即G影响观测器本身,这意味着极 点配臵和观测器设计是相互独立的,它们可 以分别进行设计,设计完后再合并成一个系 统,这种特性称为分离特性.
六、用状态反馈实现解耦 • 考虑∑(A,B,C),设 x Rnn , u R p1 , y R p1且p n • 从而
• 注意:
(1).对不可控的系统则不可能采用状态反馈 方法重新配臵所有极点. (2).状态反馈可改变系统的极点,但不改变零 点.
3.极点配臵的设计方法
(1).对∑(A,B,C)进行可控性检查. (2).将 k [k1 , k2 ,, kn ]代入式A-Bk (3).求出det(A-Bk)得到关于 k1 , k2 ,, kn 的特征 式,f(λ)=det(A-Bk)
• 由于输出中总是为部分原系统状态变量的线 性组合，因此可用输出来代替部分状态，可 以证明如下结论。
• 若系统可观且 rankC m，则原系统的 m 个状态可用输出 来表示。而其余的 m y n
个状态则需要用估计器进行估计，从而
估计器的状态是 n m 个而 n m n ，因
此称这种估计器是降维估计器。
x Ax Br y Cx
• A 是满足要求的方阵
• 若u=f(r,x)或u=r-kx则
x ( A kB) x Br y Cx
(1)
• 从而 A A kB 显然调整k可以得到合适的 A
• 实际上,由于A决定了系统的特征值或系统 的极点位臵,因此通过调整k,可以使A的极 点位臵按要求进行变化,即其极点位臵由 A 决定,这是状态反馈的重要意义和研究目的. • 现在的问题是:系统应满足什么条件,系统 的极点可任意地改变或任意地配臵到S平面 的任意位臵,总而言之即极点任意配臵.