现代控制理论状态反馈与状态观测器的设计实验报告
LT ac ker(AT ,CT , P)
或
LT place( AT ,CT , P)
其中 P 为给定的极点,L 为状态观测器的反馈阵。
例 3 已知开环系统
其中
x• Ax bu y Cx
0 1 0 0
A=
0
0
1
,b=
0
,C= 1
0
0
6 11 6 1
(1)
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其中 A : n n; B : n r;C :: m n
引入状态反馈,使进入该系统的信号为ຫໍສະໝຸດ u r Kx(2)
式中 r 为系统的外部参考输入,K 为 n n 矩阵、
可得状态反馈闭环系统的状态空间表达式为
(3) 可以证明,若给定系统就是完全能控的,则可以通过状态反馈实现系统
设计全维状态观测器,使观测器的闭环极点为-2 j2 3 ,-5、
解 为求出状态观测器的反馈矩阵 L,先为原系统构造一对偶
系统,
z AT C T n
w
BT
z
然后采用极点配置方法对对偶系统进行闭环极点位置的配置,得
到反馈阵 K,从而可由对偶原理得到原系统的状态观测器的反馈阵 L。
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K=acker(A,b,p) 式中,p 为给定的极点,K 为状态反馈阵。
对于多变量系统的极点配置,MATABLE 控制系统工具箱也给出了函数
place(),其调用格式为
K=place(A,B,P)
例2 已知系统的状态方程为
0 0 4 1 2 0
•
x
10
13
2
8
x
4
3u
3 3 0 2 1 1
状态反馈就是将系统的状态变量乘以相应的反馈系数,然后反馈 到输入端与参考输入叠加形成控制作为受控系统的控制输入,采用状 态反馈不但可以实现闭环系统的极点任意配置,而且也就是实现解耦 与构成线性最优调节器的主要手段。 1、全部极点配置
给定控制系统的状态空间模型,则经常希望引入某种控制器,使得 该系统的闭环极点移动到某个指定位置,因为在很多情况下系统的极 点位置会决定系统的动态性能。 假设系统的状态空间表达式为
10 14 5 9
3
3
求使状态反馈系统的闭环极点为-2,-3,(-1 j 3 )/2 的状态反馈阵 K。
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(二).状态观测器的设计 1、全维状态观测器的设计 极点配置就是基于状态反馈,因此状态 x 必须可测量,当不可测量
时,则应涉及状态观测器来估计状态。
0
0
L=f*(A)V 0
1
. .
. 1
C
CA
式中 V0=
A
C
n1
,f*(A)就是将系统期望的观测器特征方程中 s
换成系统矩阵 A 后的矩阵多项式。
利用对偶原理,可使设计问题大为简化,求解过程如下:
首先构造系统式(5)的对偶系统
A C
•
z
T
Tn
(6)
w BT Z
然后,根据下试可求得状态观测器的反馈针 L。
中的 s 换成系统矩阵 A 后的矩阵多项式。
例 1 已知系统的状态方程为
2 1 1 1
•
x
1
0 1x 1u
1 0 1 1
采用状态反馈,将系统的极点配置到-1,-2,-3,求状态反馈阵 K、、
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其实,在 MATLAB 的控制系统工具箱中就提供了单变量系统极点 配置函数 acker(),该函数的调用格式为
的闭环极点进行任意配置。
假定单变量系统的 n 个希望极点为λ1,λ2, …λn, 则可以求出期望
的闭环特征方程为
f * (s) (s-λ1)(s-λ2)…(s-λn)= s n a1s n1 an 这就是状态反馈阵 K 可根据下式求得
K= 00 1Uc1 f *(A)
(4)
式中 U c b Ab An1 b , f * (A) 就是将系统期望的闭环特征方程式
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B
f
C
A
L
B
f
A A
K
设能控能观测的受控系统为
•
x
Ax
Bu
y Cx
状态反馈控制规律为
u r Kxˆ
状态观测器方程为
由以上三式可得闭环系统的状态空间表达式
C
(12) (13)
(14)
(15) 可以证明,由观测器构成的状态反馈闭环系统,其特征多项式等于 状态反馈部分的特征多项式|Si-(A-BK)|与观测器部分的特征多项式|s
器的极点就可以任意配置达到要求的性能,所以,观测器的设计与状态
反馈极点配置的设计类似。
假定单变量系统所要求的 n 个观测器的极点为λ1 ,λ 2 ……λ n , 则可求出期望的状态观测器的特征方程为
f*(s)=( λ-λ1)( λ-λ2)……( λ-λn)=s n +a1 s n1+……+a n
这时可求得反馈阵 L 为
对于系统
(5)
若系统完全能观测则可构造如图所示的状态观测器。
由上图可得状态观测器的状态方程为 x=Ax+Bu-LCx+Ly
即 x=(A-LC)x+Bu+Ly
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其特征多项式为 f(s)=|sI-(A-LC)|
由于工程上要求 x 能比较快速的逼近 x,只能调整反馈阵 L,观测
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本科实验报告
课程名称:
现代控制理论
实验项目: 状态反馈与状态观测器的设计
实验地点: 中区机房
专业班级:自动化学号: 学生姓名:
指导教师:
年
月
日
现代控制理论基础
现代控制理论状态反馈与状态观测器的设计实验报告
一、实验目的 (1)熟悉与掌握极点配置的原理。 (2)熟悉与掌握观测器设计的原理。 (3)通过实验验证理论的正确性。 (4)分析仿真结果与理论计算的结果。 二、实验要求 (1)根据所给被控系统与性能指标要求设计状态反馈阵 K。 (2)根据所给被控系统与性能指标要求设计状态观测器阵 L。 (3)在计算机上进行分布仿真。 (4)如果结果不能满足要求,分析原因并重复上述步骤。 三、实验内容 (一)、状态反馈
由于 rankr0=3,所以系统哪能观测,因此可设计全维状态观测器。 (三)、带状态观测器的状态反馈系统
状态观测器解决了受控系统的状态重构问题,为那些状态变量不 能直接观测得到的系统实现状态反馈创造了条件。带状态观测器的状 态反馈系统由三部分组成,即原系统、观测器、控制器,图示就是一个 带有全维观测器的状态反馈系统。