第28讲概率(参考用时:30分钟)A层(基础)1.(2019武汉)不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球,这些球除颜色外无其他差别,随机从袋子中一次摸出3个球,下列事件是不可能事件的是( B )(A)3个球都是黑球(B)3个球都是白球(C)3个球中有黑球(D)3个球中有白球解析:A.3个球都是黑球是随机事件;B.3个球都是白球是不可能事件;C.3个球中有黑球是必然事件;D.3个球中有白球是随机事件.故选B.2.下列说法正确的是( D )(A)袋中有形状、大小、质地完全一样的5个红球和1个白球,从中随机抽出一个球,一定是红球(B)天气预报“明天降水概率10%”,是指明天有10%的时间会下雨(C)某地发行一种福利彩票,中奖率是千分之一,那么,买这种彩票1 000张,一定会中奖(D)连续掷一枚质地均匀硬币,若5次都是正面朝上,则第六次仍然可能正面朝上解析:A.袋中有形状、大小、质地完全一样的5个红球和1个白球,从中随机抽出一个球,是红球的概率是,故本选项错误;B.天气预报“明天降水概率10%”,是指明天有10%的可能会下雨,故本选项错误;C.某地发行一种福利彩票,中奖率是千分之一,那么,买这种彩票1 000张,可能会中奖,也可能不会中奖,故本选项错误;D.连续掷一枚质地均匀硬币,若5次都是正面朝上,则第六次仍然可能正面朝上,故本选项正确.故选D.3.(2019乐山市市中区模拟)一个不透明的信封中装有四张完全相同的卡片,卡片上分别画有等边三角形、矩形、菱形、圆,现从中任取一张,卡片上画的恰好既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是( C )(A)(B)(C)(D)1解析:∵在四张卡片中,既是中心对称图形又是轴对称图形的有矩形、菱形、圆共3个,∴从中任取一张,卡片上画的恰好既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是.故选C.4.如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果.下面有三个推断:①当投掷次数是500时,计算机记录“钉尖向上”的次数是308,∴“钉尖向上”的概率是0.616;②随着试验次数的增加,“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动,显示出一定的稳定性,可以估计“钉尖向上”的概率是0.618;③若再次用计算机模拟试验,则当投掷次数为1 000时,“钉尖向上”的概率一定是0.620.其中合理的是( B )(A)① (B)② (C)①②(D)①③解析:①当频数增大时,频率逐渐稳定的值即为概率,500次的试验次数偏低,而频率稳定在了0.618,故①错误;②由题图可知频率稳定在了0.618,∴估计概率为0.618,故②正确;③这个试验是一个随机试验,当投掷次数为1 000时,“钉尖向上”的概率不一定是0.620.故③错误.故选B.5.(2019临沂)经过某十字路口的汽车,可能直行,也可能向左转或向右转,如果这三种可能性大小相同,则两辆汽车经过这个十字路口时,一辆向右转,一辆向左转的概率是( B )(A)(B)(C)(D)解析:树状图如图所示:共有9种等可能的结果,其中一辆向右转,一辆向左转的情况有2种, ∴一辆向右转,一辆向左转的概率为.故选B.6.(2019柳州)小李与小陈做猜拳游戏,规定每人每次至少要出一个手指,两人出拳的手指数之和为偶数时小李获胜,那么,小李获胜的概率为( A )(A)(B)(C)(D)解析:画树状图如图:共有25个等可能的结果,两人出拳的手指数之和为偶数的结果有13个,∴小李获胜的概率为.故选A.7.(2019成都)一个盒子中装有10个红球和若干个白球,这些球除颜色外都相同.再往该盒子中放入5个相同的白球,摇匀后从中随机摸出一个球,若摸到白球的概率为,则盒子中原有的白球的个数为20 .解析:设盒子中原有的白球的个数为x个,根据题意得=,解得x=20.经检验,x=20是原分式方程的解;∴盒子中原有白球20个.8.如图,为测量平地上一块不规则区域(图中的阴影部分)的面积,画一个边长为2 m的正方形,使不规则区域落在正方形内,现向正方形内随机投掷小石子(假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的),经过大量重复投掷试验,发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近,由此可估计不规则区域的面积是 1 m2.解析:∵经过大量重复投掷试验,发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近,∴小石子落在不规则区域的概率为0.25,∵正方形的边长为2 m,∴面积为4 m2,设不规则区域的面积为S,则=0.25,解得S=1(m2).∴由此估计不规则区域的面积是1 m2.9.(2019苏州)如图,将一个棱长为3的正方体的表面涂上红色,再把它分割成棱长为1的小正方体,从中任取一个小正方体,则取得的小正方体恰有三个面涂有红色的概率为.解析:由题意可得,小立方体一共有27个,恰有三个面涂有红色的有8个,故取得的小正方体恰有三个面涂有红色的概率为.10.(2019达州)如图所示的电路中,当随机闭合开关S1,S2,S3中的两个时,能够让灯泡发光的概率为.解析:根据题意,画树状图得∴共有6种机会均等的结果,其中能够让灯泡发光的结果有4种.∴P(灯泡发光)==.11.(2019武威)2019年中国北京世界园艺博览会(以下简称“世园会”)于4月29日至10月7日在北京延庆区举行.世园会为满足大家的游览需求,倾情打造了4条各具特色的趣玩路线,分别是:A.“解密世园会”、B.“爱我家,爱园艺”、C.“园艺小清新之旅”和D.“快速车览之旅”.李欣和张帆都计划暑假去世园会,他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览,每条线路被选择的可能性相同.(1)李欣选择线路C.“园艺小清新之旅”的概率是多少?(2)用画树状图或列表的方法,求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率.解:(1)在这四条线路任选一条,每条被选中的可能性相同,∴李欣选择线路C.“园艺小清新之旅”的概率是.(2)画树状图如图:或列表:张帆A B C D李欣A (A,A) (A,B) (A,C) (A,D)B (B,A) (B,B) (B,C) (B,D)C (C,A) (C,B) (C,C) (C,D)D (D,A) (D,B) (D,C) (D,D) 共有16种等可能的结果,李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种,∴李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率为=.12.(2019青岛)小明和小刚一起做游戏,游戏规则如下:将分别标有数字1,2,3,4的4个小球放入一个不透明的袋子中,这些球除数字外都相同.从中随机摸出一个球记下数字后放回,充分混合后,再从中随机摸出一个球记下数字.若两次数字差的绝对值小于2,则小明获胜,否则小刚获胜.这个游戏对两人公平吗?请说明理由.解:这个游戏对双方不公平.理由:画出树状图如图:或列表如下:小刚1 2 3 4小明1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4)2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4)3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4)4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) 所有等可能的情况有16种,其中两次数字差的绝对值小于2的情况有(1,1),(2,1),(1,2),(2,2),(3,2),(2,3),(3,3),(4,3),(3,4),(4,4)共10种,故小明获胜的概率为=,则小刚获胜的概率为=,∵≠,∴这个游戏对两人不公平.B层(能力)13.(2019德州)甲、乙是两个不透明的纸箱,甲中有三张标有数字,,1的卡片,乙中有三张标有数字1,2,3的卡片,卡片除所标数字外无其他差别,现制定一个游戏规则:从甲中任取一张卡片,将其数字记为a,从乙中任取一张卡片,将其数字记为b.若a,b能使关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根,则甲获胜;否则乙获胜.则乙获胜的概率为( C )(A)(B)(C)(D)解析:∵关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根,∴b2-4a>0.画树状图如图:由图可知,共有9种等可能的结果,其中能使b2-4a>0的有5种结果, ∴甲获胜的概率为,乙获胜的概率为1-=.故选C.14.在-4,-2,1,2四个数中、随机取两个数分别作为函数y=ax2+bx+1中a,b的值,则该二次函数图象恰好经过第一、二、四象限的概率为.解析:画树状图如图,从树状图可以看出,所有等可能出现的结果共有12种,满足a>0,b<0的结果有4种,但当a=1,b=-2 和a=2,b=-2时,抛物线不过第四象限,∴满足该二次函数图象恰好经过第一、二、四象限的结果有2种, ∴该二次函数图象恰好经过第一、二、四象限的概率为=.15.父亲节快到了,明明准备为爸爸煮四个大汤圆作早点:一个芝麻馅,一个水果馅,两个花生馅,四个汤圆除内部馅料不同外,其他一切均相同.(1)求爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的概率;(2)若给爸爸再增加一个花生馅的汤圆,则爸爸吃前两个汤圆都是花生馅的可能性是否会增大?请说明理由.解:(1)分别用A,B,C表示芝麻馅、水果馅、花生馅的大汤圆,画树状图如下:∵共有12种等可能的结果,爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的有2种情况,∴爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的概率为=.(2)会增大.理由:分别用A,B,C表示芝麻馅、水果馅、花生馅的大汤圆,画树状图如下:∵共有20种等可能的结果,爸爸吃前两个汤圆都是花生馅的有6种情况,∴爸爸吃前两个汤圆都是花生馅的概率为=.∵>,∴给爸爸再增加一个花生馅的汤圆,则爸爸吃前两个汤圆都是花生馅的可能性会增大.16.(2019攀枝花)某市少年宫为小学生开设了绘画、音乐、舞蹈和跆拳道四类兴趣班.为了解学生对这四类兴趣班的喜爱情况,对学生进行了随机问卷调查(问卷调查表如图所示),将调查结果整理后绘制了一幅不完整的统计表.最受欢迎兴趣班调查问卷你好!这是一份关于你最喜欢的兴趣班问卷调查表,请在表格中选择一个(只能选一个)你最喜欢的兴趣班选项,在其后空格内打“√”,谢谢你的合作选项兴趣班请选择A 绘画B 音乐C 舞蹈D 跆拳道兴趣班频数频率A 0.35B 18 0.30C 15 bD 6合计 a 1请你根据统计表中提供的信息回答下列问题:(1)统计表中的a= ,b= ;(2)根据调查结果,请你估计该市2 000名小学生中最喜欢“绘画”兴趣班的人数;(3)王姝和李要选择参加兴趣班,若她们每人从A,B,C,D四类兴趣班中随机选取一类,请用画树状图或列表格的方法,求两人恰好选中同一类的概率.解:(1)a=18÷0.3=60,b=15÷60=0.25.(2)估计该市 2 000名小学生中最喜欢“绘画”兴趣班的人数为2 000×0.35=700(人).(3)根据题意画树状图如图:或列表:王姝A B C D李要A (A,A) (A,B) (A,C) (A,D)B (B,A) (B,B) (B,C) (B,D)C (C,A) (C,B) (C,C) (C,D)D (D,A) (D,B) (D,C) (D,D) 共有16种等可能的结果,其中两人恰好选中同一类的结果有4种, ∴两人恰好选中同一类的概率为=.复习效果检测(八)见第295～298页。