2015届高三培优____导数应用不等式恒成立问题
【基础导练】
1．已知函数32()39f x x x x c =--+，若[2,6]x ∈-时，()2f x c <恒成立，则c 的取值范
围是
解析：问题等价于3239()c x x x g x >+-=，只要max ()(6)54c g x g >==
答案：(54,)+∞
2．已知33()3,(0),()3,(0)f x x x x g t t t m t =-≤=-+≥，若对任意0,0x t ≤≥恒有不等
式()()g t f x ≥成立，则实数m 的取值范围是
解析：求得max ()(1)2f x f =-=，min ()(1)2g t g m ==-，只需22m -≥，即 4.m ≥ 答案：[4,)+∞
3．设函数()(1)ln(1)f x x x =++，若对所有的0x ≥，都有()f x ax ≥成立，则实数a 的
取值范围 ．
【解析】令()(1)ln(1)g x x x ax =++-，
对函数()g x 求导数：'()ln(1)1g x x a =++-令'()0g x =，解得11a x e -=-， (i)当1a ≤时，对所有0,'()0x g x >>，所以()g x 在[0,)+∞上是增函数，
又(0)0g =，所以对0x ≥，都有()(0)g x g ≥，
即当1a ≤时，对于所有0x ≥，都有()f x ax ≥．
(ii)当1a >时，对于101a x e -<<-，'()0g x <，所以()g x 在1(0,1)a e -- 是减函数，
又(0)0g =，所以对1
01a x e
-<<-，都有()(0)g x g <，即当1a >时，对所有的0x ≥，都有()f x ax ≥成立． 综上，a 的取值范围是（－∞，1]．
【例题研究】
例题1．已知函数()f x ax e x =-,其中0a ≠ . 若对一切x R ∈ ,()f x ≥1恒成立,求a 的取值集合.
【解析】(Ⅰ)若0a <,则对一切0x >,()f x 1ax e x =-<,这与题设矛盾,又0a ≠,
故0a >.
而()1,ax f x ae '=-令11()0,ln .f x x a a
'==得
当11ln x a a <
时,()0,()f x f x '<单调递减;当11ln x a a
>时,()0,()f x f x '>单调递增,故当11ln x a a =时,()f x 取最小值11111(ln )ln .f a a a a a =- 于是对一切,()1x R f x ∈≥恒成立,当且仅当
111ln 1a a a
-≥. ① 令()ln ,g t t t t =-则()ln .g t t '=-
当01t <<时,()0,()g t g t '>单调递增;当1t >时,()0,()g t g t '<单调递减.
故当1t =时,()g t 取最大值(1)1g =.因此,当且仅当
11a
=即1a =时,①式成立. 综上所述,a 的取值集合为{}1.
例题2．设函数2()()ln ,.f x x a x a R =-∈
(Ⅰ) 若x e =为()y f x =的极值点，求实数a ；
(Ⅱ) 求实数a 的取值范围，使得对(0,3]x e ∀∈，恒有2()4f x e ≤成立 【解析】(Ⅰ) 求导得2()'()2()ln ()(2ln 1)x a a f x x a x x a x x x
-=-+=-+-，因为x e =是()f x 的极值点，所以'()()(3)0a f e e a e
=--=，所以a e =或3a e =经检验符合题意 (Ⅱ)①当01x <≤时，对a R ∀∈，恒有2
()04f x e ≤<成立
②当13x e <≤时，由题意，首先由22(3)(3)ln(3)4,f e e a e e =-≤解
得33e a e ≤≤+由(Ⅰ)知'()()(2ln 1)a f x x a x x =-+-， 令()2ln 1a h x x x
=+-，则(1)10,()2ln 0h a h a a =-<=>，且
(3)2ln(3)12ln(3)12(ln(3)03a h e e e e e =+-≥+=>， 又()h x 在(0,)+∞内单调递增，所以函数()h x 在(0,)+∞内有唯一零点，记此零点为0x ，
则0013,1x e x a <<<<，从而当0(0,)x x ∈时，'()0f x >；当0(,)x x a ∈时，'()0f x <；当(,)x a ∈+∞时，'()0f x >，即()f x 在00(0,),(,),(,).x x a a ↑↓+∞↑
所以要2
()4f x e ≤对(1,3)x e ∈恒成立，只要2200022()()ln 4(3)(3)ln(3)4f x x a x e f e e a e e ⎧=-≤⎨=-≤⎩ (1)(2)成立， 由000
()2ln 10a h x x x =+-=知，0002ln .a x x x =+ (3)代入(1)得232004ln 4.x x e ≤又01x >，注意到函数23ln x x 在(1,)+∞内单调递增，故01x e <≤再由(3)以及函数2ln x x x
+在(1,)+∞内单调递增，可得1.a e <≤由(2)解得33.ln(3)ln(3)
e a e e e -≤≤+ 所以33.ln(3)
e a e e -≤≤ 例题3已知函数()()()[]3
21,12cos .0,12
x x f x x e g x ax x x x -=+=+++∈当时， （I ）求证：()11;1x f x x
-≤≤+ （II ）若()()f x g x ≥恒成立，
a 求实数的取值范围.。