r
u q r x ,y ,z , x , y , z p u ,v ,w , u , v , w
由于两坐标系的坐标轴平行，于是可以得到：
u 1 0 0 0 rz ry x
v
0 1 0 rz
0
rx
y
ur w 0 0 1
p
u
0
0
0
ry 1
rx 0
0 z r
——是自 O i 到杆
Lj
的质心 C
j
的向径。
.
5
例1 求两杆操作机的静关节力矩(坐标系与结构尺寸如图)。
解： 设已知
.
6
.
7
.
8
二、操作机的静力平衡
ur
设有操作机如图所示，每个关节都作用有关节力矩 i (广 义将驱产动生力力，uFr 指e 和向力z i 矩的正Muur 向e 。)，由在于末uFr端e 、执Mu行ur e器是u的操r 参作考机点作用P 于e 外处
1 ry
0 1
0 0
0 0
MFwu
JT
ur P
My
rz
0
rx
0
1
0
Mv
Mz ry rx 0 0 0 1 Mw
上式也可直接用虚功原理求得。
.
14
6-2 机器人动力学概述
一、研究目的：
1、合理地确定各驱动单元（以下称关节）的电机功率。2、
解决对伺服驱动系统的控制问题（力控制） 在机器人处于不同位置图形（位形）时，各关节的有
力（矩）与接触力的关系。
机器人动力学研究机器人运动与关节驱动力（矩）间的动
态关系。描述这种动态关系的微分方程称为动力学模型。由
于机器人结构的复杂性，其动力学模型也常常很复杂，因此
很难实现基于机器人动力学模型的实时控制。然而高质量的
控制应当基于被控对象的动态特性，因此，如何合理简化机
器人动力学模型，使其适合于实时控制的要求，一直是机器
JT Q
式中 J ——是速度分析时引出的雅可比矩阵，其元素为相应 的偏速度。
上式是针对操作机的关节力和执行器参考点 P e 间所产生的 力和力矩之间的关系式。
该式表明关节空间和直角坐标空间广义力可以借助于雅可 比矩阵 J 进行变换。这种变换关系，也可推广到任两杆间固 联直角坐标系中的广义力变幻，这时应将关节空间与直角坐 标空间的雅可比矩阵，换作直角坐标空间的雅可比矩阵。
界对象的力和力矩，为了和输入关节力矩 故应取负值。
i
一起进行运算，
.
9
利用虚功原理建立静力平衡方程，令
r 1,,i,,nT
u r
T
Q q r F e x q , 1 F , e y , ,F e q z , iM ,e x ,,M q n e y , T M e z
u r p x e ,y e ,z e ,
x ,
y ,
z T
于是，操作机的总虚功是：
W rTq rQ u rTu p r
根据虚功原理，若系统处于平衡，则总虚功(虚功之和)为0，
即
rTq rQ urTu p r0
.
10
ur r
由机器人运动微分关系可知，pJq，则有
因为 q i
rJTQ urTq r0
是独立坐标，则
r ur
r q
0
，所以有
.
11
例2 如图，操作机的手爪正在持板手扭某一哩栓，手爪上 方 联接一测力传感器可测六维力向量(力和力矩)。试确定测力传 感器和扭动板手时力和力矩的关系。
.
12
解：
设在测力传感器上置坐标系 Sf ( Of uvw )，在螺栓上置坐 标系 S ( O xyz ) 。在图示瞬间，两坐标系彼此平行。因为刚 体的无限小位移(平移和转动)可表示为六维向量，故对二者的 微位移可分别表示为：
效惯量及耦合量都会发生变化（时变的），因此，加于各 关节的驱动力也应是时变的，可由动力学方程给以确定。
二、机器人动力学研究的问题可分为两类：
ur F i1
uur M i1
.
3
按静力学方法，把这些力、力矩简化到 L i 的固联坐标系
oi xi yi ziu u ，r可u 得u u r： u r
u F u irF u i u r1G ir u r r u r
或
uurM M u u F u u iiriu ri iuM rR iR ii 1 ii1 u F 1 rM u iiu r1 1 u iiiu r1 1R F 0 iir u G u ir1 iu i u r0R rC ii i1 u F rG ii 1 1 i r u C u iriR 0 iG u u iu r0
人动力学研究者追求的目标。
.
2
6.1 机器人静力学
一、杆件之间的静力传递
作用在有操力作矩机ur 中Muu，ru iur任1和取力两uFr连i1杆；在L i杆，L
i
L
1
i
。设在杆
L
i
上的
1
上作用有自重力
GuO〔r ii 过1 点质
心 C i ）；r i 和 r C i 分别为由 O i 到 O i 1 和 C i 的向径。
机器人技术
陶建国
哈尔滨工业大学机电学院 2005. 2.
第六章 机器人静力学和动力学
静力学和动力学分析，是机器人操作机设计和动态性能分
析的基础。特别是动力学分析，它还是机器人控制器设计、
动态仿真的基础。
机器人静力学研究机器人静止或缓慢运动式，作用在机器
人上的力和力矩问题。特别是当手端与环境接触时，各关节
式中 Gui0r umurig ( m i 为杆 L i 的质量)。
求出 F i 和 M i 在 z i 轴上的分量，就得到了关节力和扭矩，
它们就是在忽略摩擦之后，驱动器为使操作机保持静力平
衡所应提供的关节力或关节力矩，记作
r i
uur k Fuui ur
u
r
i
，其大小为
k M. i
4
当忽略 u u F u rriiiirriu R riiu R r1ii1
u R r0ii1M uu F u rriiii 1 11
若以
r i0
表示不计重力的关节力或力矩值，对于转动关节
则有 ：
rr
nr
ur
i i0ki (ri,Cj Gj)
ji
式中
r r i,C j
0
x
J
q
v
0 0 0
0
1
0
y
w
0
0
00 .
0
1 z
13
前式也u r 可以从前图直r 观求得。 设 Q 为相应于 q 的广义力向量，
ur P
ur 为相应于 p
的广义
力向量，则可得：
Fx 1 0 0 0 0 0 Fu
Fy
0
1
0
0
0
0
Fv
ur Q
MFzx
0 0
0 rz