第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系课时作业 A 组——基础对点练1．圆心为(4,0)且与直线3x －y ＝0相切的圆的方程为( ) A ．(x －4)2＋y 2＝1 B ．(x －4)2＋y 2＝12 C ．(x －4)2＋y 2＝6D ．(x ＋4)2＋y 2＝9解析：由题意，知圆的半径为圆心到直线3x －y ＝0的距离，即r ＝|3×4－0|3＋1＝23，结合圆心坐标可知，圆的方程为(x －4)2＋y 2＝12，故选B. 答案：B2．(2018·石家庄质检)若a ，b 是正数，直线2ax ＋by －2＝0被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为23，则t ＝a 1＋2b 2取得最大值时a 的值为( ) A.12 B ．32C.34D ．34解析：因为圆心到直线的距离d ＝24a 2＋b2，则直线被圆截得的弦长L ＝2r 2－d 2＝24－44a 2＋b 2＝23，所以4a 2＋b 2＝4.t ＝a1＋2b 2＝122·(22a )1＋2b2≤122·12·[(22a )2＋(1＋2b 2)2]＝142[8a 2＋1＋2(4－4a 2)]＝942，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧8a 2＝1＋2b24a 2＋b 2＝4时等号成立，此时a ＝34，故选D.答案：D3．(2018·惠州模拟)已知圆O ：x 2＋y 2＝4上到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点恰有3个，则实数a 的值为( ) A ．2 2 B ． 2C ．－2或 2D ．－22或2 2解析：因为圆上到直线l 的距离等于1的点恰好有3个，所以圆心到直线l 的距离d ＝1，即d ＝|－a |2＝1，解得a ＝± 2.故选C.答案：C4．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________．解析：已知圆的圆心为(2，－1)，半径r ＝2. 圆心到直线的距离d ＝|2＋2×－1－3|1＋4＝355，所以弦长为2r 2－d 2＝2 22－⎝⎛⎭⎪⎫3552＝2555. 答案：25555．已知m >0，n >0，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是________．解析：因为m >0，n >0，直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，所以圆心C (1,1)到直线的距离d ＝|m ＋1＋n ＋1－2|m ＋12＋n ＋12＝1，即|m ＋n |＝m ＋12＋n ＋12，两边平方并整理得，m ＋n ＋1＝mn ≤(m ＋n2)2，即(m ＋n )2－4(m ＋n )－4≥0，解得m ＋n ≥2＋22，所以m ＋n 的取值范围为[2＋22，＋∞)． 答案：[2＋22，＋∞)6．两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R 且ab ≠0，则1a2＋1b2的最小值为________．解析：两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0配方得，(x ＋a )2＋y 2＝4，x2＋(y －2b )2＝1，依题意得两圆相外切，故a 2＋4b 2＝1＋2＝3，即a 2＋4b 2＝9，1a 2＋1b 2＝(a29＋4b 29)(1a 2＋1b 2)＝19＋a 29b 2＋4b 29a 2＋49≥59＋2 a 29b 2×4b 29a 2＝1，当且仅当a 29b 2＝4b 29a2，即a 2＝2b 2时等号成立，故1a 2＋1b2的最小值为1.答案：17．已知矩形ABCD 的对角线交于点P (2,0)，边AB 所在的直线方程为x ＋y －2＝0，点(－1,1)在边AD 所在的直线上． (1)求矩形ABCD 的外接圆方程；(2)已知直线l ：(1－2k )x ＋(1＋k )y －5＋4k ＝0(k ∈R)，求证：直线l 与矩形ABCD 的外接圆相交，并求最短弦长．解析：(1)依题意得AB ⊥AD ，∵k AB ＝－1， ∴k AD ＝1，∴直线AD 的方程为y －1＝x ＋1，即y ＝x ＋2.解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x －y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即A (0,2)．矩形ABCD 的外接圆是以P (2,0)为圆心， |AP |＝22为半径的圆，方程为(x －2)2＋y 2＝8.(2)证明：直线l 的方程可整理为(x ＋y －5)＋k (y －2x ＋4)＝0，k ∈R ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5＝0，y －2x ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，∴直线l 过定点M (3,2)．又∵点M (3,2)在圆内，∴直线l 与圆相交． ∵圆心P 与定点M 的距离d ＝5， 最短弦长为28－5＝2 3.8．已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0，圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，m 为何值时， (1)圆C 1与圆C 2外切； (2)圆C 1与圆C 2内含．解析：对于圆C 1与圆C 2的方程，经配方后得C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9； C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4.(1)如果圆C 1与圆C 2外切，则有m ＋12＋－2－m2＝3＋2，(m ＋1)2＋(－2－m )2＝25，m 2＋3m －10＝0，解得m ＝－5或m ＝2.所以当m ＝－5或m ＝2时，圆C 1与圆C 2外切． (2)如果圆C 1与圆C 2内含，则有m ＋12＋－2－m2<3－2.(m ＋1)2＋(－2－m )2<1，m 2＋3m ＋2<0，解得－2<m <－1，所以当－2<m <－1时，圆C 1与圆C 2内含．B 组——能力提升练1．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3，－1] B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析：欲使直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，只需使圆心到直线的距离小于等于圆的半径2即可，即|a －0＋1|12＋－12≤2，化简得|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.答案：C2．已知⊙M 的圆心在抛物线x 2＝4y 上，且⊙M 与y 轴及抛物线的准线都相切，则⊙M 的方程是( )A ．x 2＋y 2±4x －2y ＋1＝0 B ．x 2＋y 2±4x －2y －1＝0 C ．x 2＋y 2±4x －2y ＋4＝0D ．x 2＋y 2±4x －2y －4＝0解析：抛物线x 2＝4y 的准线为y ＝－1，设圆心M 的坐标为(x 0，y 0)(y 0>0)，则|x 0|＝y 0＋1，又x 20＝4y 0，所以联立⎩⎪⎨⎪⎧|x 0|＝y 0＋1，x 20＝4y 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝±2，y 0＝1，因此圆M 的方程为(x ±2)2＋(y －1)2＝22，展开整理得x 2＋y 2±4x －2y ＋1＝0，故选A. 答案：A3．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离解析：由题知圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a2，所以2a 2－a 22＝22，解得a ＝2.圆M ，圆N 的圆心距|MN |＝2，两圆半径之差为1，故两圆相交． 答案：B4．直线ax ＋by ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝1相切，则a ＋b ＋ab 的最大值为( ) A ．1 B ．－1 C.2＋12D ．2＋1解析：∵直线ax ＋by ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝1相切， ∴圆心O (0,0)到直线ax ＋by ＋1＝0的距离等于半径，即1a 2＋b2＝1⇒a 2＋b 2＝1，易知a ＋b＋ab 的最大值一定在a >0，b >0时取得，∴a ＋b ＋ab ＝a ＋b 2＋ab ＝1＋2ab ＋ab .令1＋2ab ＝t ，则ab ＝t 2－12.∵ab ≤a 2＋b 22＝12(当且仅当a ＝b ＝22时取“＝”)且ab >0，∴1<t ≤2，∴a ＋b ＋ab ＝1＋2ab ＋ab ＝12t 2＋t －12＝12(t ＋1)2－1，∴当t ＝2时，(a ＋b ＋ab )max ＝2＋12.故选C.答案：C5．(2018·云南五市联考)设圆C 满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l ：x －2y ＝0的距离为d .当d 最小时，圆C 的面积为________．解析：设圆C 的圆心为C (a ，b )，半径为r ，则点C 到x 轴，y 轴的距离分别为|b |，|a |.由题设知圆C 截x 轴所得劣弧所对的圆心角为90°，知圆C 截x 轴所得的弦长为2r ，故r2＝2b 2，又圆C 截y 轴所得的弦长为2，所以r 2＝a 2＋1，从而得2b 2－a 2＝1.又点C (a ，b )到直线x －2y ＝0的距离d ＝|a －2b |5，所以5d 2＝(a －2b )2＝a 2＋4b 2－4ab ≥a 2＋4b 2－2(a 2＋b 2)＝2b 2－a 2＝1，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b2b 2－a 2＝1，即a 2＝b 2＝1时等号成立，此时d 取得最小值，此时r 2＝2，圆C 的面积为2π. 答案：2π6．已知方程x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0. (1)若此方程表示圆，求实数m 的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x ＋2y －4＝0相交于M ，N 两点，且OM ⊥ON (O 为坐标原点)，求m 的值；(3)在(2)的条件下，求以MN 为直径的圆的方程．解析：(1)由D 2＋E 2－4F >0得(－2)2＋(－4)2－4m >0，解得m <5.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由x ＋2y －4＝0得x ＝4－2y ；将x ＝4－2y 代入x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0得5y 2－16y ＋8＋m ＝0，∴y 1＋y 2＝165，y 1y 2＝8＋m 5.∵OM ⊥ON ，∴y 1x 1·y 2x 2＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.∵x 1x 2＝(4－2y 1)(4－2y 2)＝16－8(y 1＋y 2)＋4y 1y 2，∴x 1x 2＋y 1y 2＝16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0， 即(8＋m )－8×165＋16＝0，解得m ＝85.(3)设圆心C 的坐标为(a ，b )，则a ＝12(x 1＋x 2)＝45，b ＝12(y 1＋y 2)＝85，半径r ＝|OC |＝455，∴所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －852＝165.7．已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.解析：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3. 设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R . (1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切， 所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左，右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．(2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝2 3.若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则|QP ||QM |＝Rr 1，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)，由l 与圆M 相切得|3k |1＋k2＝1，解得k ＝±24. 当k ＝24时，将y ＝24x ＋2代入x 24＋y 23＝1，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝－4±627.所以|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝187.当k ＝－24时，由图形的对称性可知|AB |＝187. 综上，|AB |＝23或|AB |＝187.。