第5讲 指数与指数函数
1. 化简[(－2)6]12
－(－1)0的结果为( )
A ．－9
B ．7
C ．－10
D ．9
2. 设x ＋x －1＝3，则x 2＋x －
2的值为( )
A ．9
B ．7
C ．5
D ．3
3．函数f (x )＝a x －
1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点A 的是( )
A ．y ＝1－x
B ．y ＝|x －2|
C ．y ＝2x －1
D ．y ＝log 2(2x )
4. 若a >1且a 3x ＋1>a －
2x ，则x 的取值范围为________．
5．若指数函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________．
指数函数的图象及应用
(1)函数f (x )＝a x －b
的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( ) A ．a >1，b <0 B ．a >1，b >0 C ．0<a <1，b >0 D ．0<a <1，b <0
(2)若方程|3x －1|＝k 有一解，则k 的取值范围为________．
若将本例(2)变为函数y ＝|3x
－1|在(－∞，k ]上单调递减，则k 的取值范围如何？
指数函数的图象及应用
(1)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象．
(2)一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．
[通关练习]
1．函数f (x )＝1－e |x |
的图象大致是( )
2．若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a ＞0，且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是________．
指数函数的性质及应用(高频考点)
(1)已知a ＝243
，b ＝425
，c ＝2513
，则( )
A ．b ＜a ＜c
B ．a ＜b ＜c
C ．b ＜c ＜a
D ．c ＜a ＜b
(2)已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，
2a －x ，x ＜0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为________．
(3)若偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则不等式f (x －2)＞0的解集为________．
有关指数函数性质的问题类型及解题思路
(1)比较指数幂大小问题，常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)．
(2)求解简单的指数不等式问题，应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．
(3)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．
[注意] 在研究指数型函数单调性时，当底数与“1”的大小关系不明确时，要分类讨论．
[题点通关]
角度一 比较指数幂的大小
1．设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( )
A ．a ＜b ＜c
B ．a ＜c ＜b
C ．b ＜a ＜c
D ．b ＜c ＜a
角度二 解简单的指数方程或不等式
2．不等式2x 2－
x <4的解集为________．
角度三 研究指数型函数的性质
3．函数y ＝2x －2－
x 是( )
A ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增
B ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减
C ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增
D ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减
角度四 求解指数型函数中参数的取值范围
4．已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________．
——利用换元法求解指数型函数的值域问题
函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫14x
－⎝⎛⎭⎫
12x
＋1在x ∈[－3，2]上的值域是________．
已知函数f (x )＝2a ·4x －2x －1.
(1)当a ＝1时，求函数f (x )在x ∈[－3，0]上的值域； (2)若关于x 的方程f (x )＝0有解，求a 的取值范围．
1．已知f (x )＝3x －b
(2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2，1)，则f (x )的值域为( )
A ．[9，81]
B ．[3，9]
C ．[1，9]
D ．[1，＋∞)
2．函数y ＝a x －1
a
(a >0，a ≠1)的图象可能是( )
3．已知a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525
，则( ) A ．a <b <c B ．c <b <a C ．c <a <b D ．b <c <a
4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x
－7，x ＜0，
x ，x ≥0，
若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－3)
B ．(1，＋∞)
C ．(－3，1)
D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
5．若函数f (x )＝a |2x －
4|(a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19
，则f (x )的单调递减区间是( )
A ．(－∞，2]
B ．[2，＋∞)
C ．[－2，＋∞)
D ．(－∞，－2]
6．若函数f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则实数a ＝________．
7．已知函数f (x )＝e x －e －
x e x ＋e
－x ，若f (a )＝－1
2，则f (－a )＝________．
8．已知函数f (x )＝(a －2)a x (a >0，且a ≠1)，若对任意x 1，x 2∈R ，f （x 1）－f （x 2）
x 1－x 2
>0，则a 的取值范围
是________．
9．已知max{a ，b }表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e |x －
2|}，则f (x )的最小值为________．
10．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1，6)，B (3，24)．若不等式 ⎝⎛⎭⎫1a x ＋⎝⎛⎭
⎫1b x
－m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．
11．已知实数a ，b 满足等式⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫
13b
，下列五个关系式：
①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b . 其中不可能成立的关系式有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
12．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2
－4x ＋3.
(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值3，求a 的值．
13．已知定义在R 上的函数f (x )＝2x －1
2
|x |，
(1)若f (x )＝3
2
，求x 的值；(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1，2]恒成立，求实数m 的取值范围．。