1. （10分）随机变量12,X X 彼此独立，且特征函数分别为12(),()v v φφ，求下列随机变量的特征函数：
（1） 122X X X =+ （2）12536X X X =++
解：（1）
()121222()jv X X jvX jv X jvX
X v E e E e E e e φ+⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （2）
()1212536536()jv X X jv X jv X jv X v E e E e e e φ++⎡⎤⎡⎤==⋅⋅⎣⎦⎣⎦
2. （10分）取值()1,1-+，概率[0.4,0.6]的独立()半随机二进制传输信号()X t ，时隙长度为T ，问：
（1） 信号的均值函数()E X t ⎡⎤⎣⎦；
（2） 信号的自相关函数(),X R t t τ+；
（3） 信号的一维概率密度函数();X f x t 。

解：（1）()10.410.60.2E X t =-⨯+⨯=⎡⎤⎣⎦
(2) 当,t t τ+在同一个时隙时：
当,t t τ+不在同一个时隙时：
（3）()()();0.610.41X f x t x x δδ=-++
3. （10分）随机信号0()sin()X t t ω=+Θ，()()0cos Y t t ω=+Θ，其中0
ω为常数，Θ为在[]-,ππ上均匀分布的随机变量。

（1） 试判断()X t 和()Y t 在同一时刻和不同时刻的独立性、相关性及正交性；
（2） 试判断()X t 和()Y t 是否联合广义平稳。

解：
（1） 由于X (t )和Y(t )包含同一随机变量θ，
因此非独立。

根据题意有12f ()θπ=。

[]001sin()02E[X(t )]E t sin(w t )d π
πωθθπ
-=+Θ=
+=⎰，
由于0XY XY R (t,t )C (t,t )==，X (t )和Y(t )在同一时刻正交、线性无关。

除()012w t t k π-=±外的其他不同时刻12120XY XY R (t ,t )C (t ,t )=≠，所以1X (t )和2Y(t )非正交且线性相关。

（2） 由于0E[X(t )]E[Y(t )]==，X (t )和Y(t )
均值平稳。

同理可得1212Y X R (t ,t )R (t ,t )=，因此X (t )和Y(t )均广义平稳。

由于
121201201122
XY XY R (t ,t )C (t ,t )sin[w (t t )]sin(w )τ==-=，因此X (t )和Y(t )联合广义平稳。

4. （10分）判断下列函数是否能作为实广义平稳随机过程的自相关函数（其中c ω均为常数）？如果不能，请写出理由。

（1）cos() ||4() 0 c c R πωττωτ⎧≤⎪=⎨⎪⎩
其它 （2）cos() ||2() 0 c c R πωττωτ⎧≤⎪=⎨⎪⎩
其它 （3）10cos() ||() 0 c c R πωττωτ⎧≤⎪=⎨⎪⎩
其它 （4）()=cos() ||c R τωττ≤∞ 解：（1）不能，因为零点连续，而4/π点
不连续。

（2）能。

（3）不能，因为20c R()R()π
ω=，而R()τ又
不是2c /πω的周期函数。

（4）能。

5. （10分）线性时不变系统的框图如下图所示。

若输入白噪声的双边功率谱密度0 1 W/Hz 2N =，求系统输出噪声的功率谱密度函数和自相关函数，以及输出噪声总功率。

解：系统的传递函数为
()11R H j R j L j ωωω==++，
则系统输出功率谱密度为
()()()222112121Y X S S H j ωωωωω=⨯==⋅++。

输出噪声的自相关函数为()12Y R e ττ-= 输出噪声总功率为102N Y P R ()(W )==
6. （10分）设随机信号
()()()()()sin Z t X t t Y t t ωω=-00cos ，其中ω0为常
数，()()X t Y t 和均为零均值的平稳随机过程，并且相互正交。

问：
（1） ()()X t Y t 和是否联合广义平稳？
（2） 假如()()X Y R R ττ=，()Z t 是否为广义平稳的随机信号？
证明：
（1） 由于()()X t Y t 和相互正交，所以(,)(,)0XY YX R t t R t t ττ+=+≡，与t 无关 ，又因为()()X t Y t 和均为零均值的平稳随机过程，所以()()X t Y t 和是联合广义平稳随机信号。

（2） 假如()()X Y R R ττ=，
由于()()X t Y t 和相互正交，所以
()()X Y R R τωττωτ==00cos cos ，与t 无关
所以()Z t 是广义平稳的随机信号。

7. （10分）下列函数中哪些是实广义平稳随机信号功率谱密度的正确表达式？若是，求该信号的平均功率；若不是，请说明原因。

（1） 2
29()69S ωωωω+++= （2）
2424()109S ωωωω+++=
（3） 210()010S ωωω⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ （4）
()()2S ωπδω=
解：
（1） 不可以。

不是偶函数。

（2） 可以。

()()42224111()109219S ωωωωω⎡⎤⎢⎥=-++++⎢⎥⎣⎦
=，所以 3()R e e τττ--+11=412，所以1(0)3
P R =+=11=412 （3） 可以。

10
101120()222P S d d ωωωπππ∞-∞-===⎰⎰
（4） 可以。

11()2()122P S d d ωωπδωωππ∞∞
-∞-∞===⎰⎰
8. （10分）某语音随机信号()X t 满足广义各态历经性，现将该信号经过无线信道进行传输，假设信道噪声为广义各态历经的加性高斯白噪声()N t 。

讨论：
（1） 收到的信号()()()Y t X t N t =+的均值各态历经性；
（2） ()Y t 满足广义各态历经性的条件。

解：
由()X t 满足广义各态历经性，所以()X t 广义平稳且满足：
同理，()N t 广义平稳且满足：
由于()X t 与()N t 是独立的，所以： 所以()Y t 是广义平稳的。

且有：
所以，
由于[][]()()X E Y t A Y t m ==，所以()Y t 是均值各态历经的。

假如[][]()()()()0A X t N t A X t N t ττ+++=，则()Y t 是广义各态历经的。

9. （10分）已知平稳随机信号()X t 的功率谱
密度 24()4X S ωω=+ 。

()X t 通过频率响应为
1()1
H j ωω=+ 的系统后得到()Y t 。

求： （1） ()Y t 的均值、平均功率；
（2） 系统的等效噪声带宽；
（3） 信号()Y t 的矩形等效带宽。

解: (1) 2 124()[]4
X R F e ττω--==+
()0X X m R =∞=， （2）()2
2211()()12h H r e u τωττω-=→=+
（3）信号()Y t 的矩形等效带宽 10. （10分）
00()()cos(2)()sin(2)N t X t f t Y t f t ππ=-设所表示的零均值平稳窄高斯随机信号的功率谱密度()N S f 如下图示，若0f 为100Hz ，试求：
（1） 随机信号()N t 的一维概率密度函数；
（2） ()()X XY R R ττ和；
（3） ()N t 的两个正交分量的联合概率密
度函数。

解：t t Y t t X t N 00sin )(cos )()(ωω-= ()()t Y t X ,也是高斯的
依题 ()()()0E N t E X t E Y t ===⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦
(1)
()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯-⨯=48exp 341242exp 2421
;22n n t n f N ππ
（2）0f =100Hz ，根据X(t)和Y(t)的性质知
且 )()(00ωωωω-=+N N S S 则可得 0)(=τXY R ，)(f S X 如图 求)(f S X 的傅立叶反变换可得
(3) (
)21;exp 48X x f x t ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭ ()ωN S Θ关于0ω对称，所以 ()(),X t Y t 在任意时刻正交,不相关,独立.。