1. （10分）随机变量12,X X 彼此独立，且特征函数分别为12(),()v v φφ，求下列随机变量的特征函数：（1） 122X X X =+ （2）12536X X X =++解：（1）()121222()jv X X jvX jv X jvXX v E e E e E e e φ+⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦1221212()(2)jvX jv X X X E e E e v v φφ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦和独立（2）()1212536536()jv X X jv X jv X jv X v E e E e e e φ++⎡⎤⎡⎤==⋅⋅⎣⎦⎣⎦1253612jv X jv X jv X X E e E e E e ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦和独立 612(5)(3)jv e v v φφ=2. （10分）取值()1,1-+，概率[0.4,0.6]的独立()半随机二进制传输信号()X t ，时隙长度为T ，问： （1） 信号的均值函数()E X t ⎡⎤⎣⎦； （2） 信号的自相关函数(),X R t t τ+； （3） 信号的一维概率密度函数();X f x t 。

解：（1）()10.410.60.2E X t =-⨯+⨯=⎡⎤⎣⎦ (2) 当,t t τ+在同一个时隙时：[]222(,)()()[()]10.6(1)0.41X R t t E X t X t E X t ττ+=+==⨯+-⨯=当,t t τ+不在同一个时隙时：[][][](,)()()()()0.20.20.04X R t t E X t X t E X t E X t τττ+=+=+=⨯=（3）()()();0.610.41X f x t x x δδ=-++3. （10分）随机信号0()sin()X t t ω=+Θ，()()0cos Y t t ω=+Θ，其中0ω为常数，Θ为在[]-,ππ上均匀分布的随机变量。

（1） 试判断()X t 和()Y t 在同一时刻和不同时刻的独立性、相关性及正交性；（2） 试判断()X t 和()Y t 是否联合广义平稳。

解：（1） 由于X (t )和Y(t )包含同一随机变量θ，因此非独立。

根据题意有12f ()θπ=。

[]001sin()02E[X(t )]E t sin(w t )d ππωθθπ-=+Θ=+=⎰， []001cos()02E[Y(t )]E t cos(w t )d ππωθθπ-=+Θ=+=⎰ {}121212010201020120120121211242XY XY C (t ,t )R (t ,t )E[X (t )Y(t )]E[sin(w t )cos(w t )]sin(w t )cos(w t )d sin[w (t t )]sin[w (t t )]d sin[w (t t )]ππππθθθθθπθθπ--===++=++=+++-=-⎰⎰由于0XY XY R (t,t )C (t,t )==，X (t )和Y(t )在同一时刻正交、线性无关。

除()012w t t k π-=±外的其他不同时刻12120XY XY R (t ,t )C (t ,t )=≠，所以1X (t )和2Y(t )非正交且线性相关。

（2） 由于0E[X(t )]E[Y(t )]==，X (t )和Y(t )均值平稳。

[]12010201020120120120121241122X R (t ,t )E sin(w t )sin(w t )sin(w t )sin(w t )d {cos[w (t t )]cos[w (t t )]d cos[w (t t )]cos(w )ππππθθθθθπθθπτ--=++=++=-+++-=-=⎰⎰同理可得1212Y X R (t ,t )R (t ,t )=，因此X (t )和Y(t )均广义平稳。

由于121201201122XY XY R (t ,t )C (t ,t )sin[w (t t )]sin(w )τ==-=，因此X (t )和Y(t )联合广义平稳。

4. （10分）判断下列函数是否能作为实广义平稳随机过程的自相关函数（其中c ω均为常数）？如果不能，请写出理由。

（1）cos() ||4() 0 c c R πωττωτ⎧≤⎪=⎨⎪⎩其它（2）cos() ||2() 0 c c R πωττωτ⎧≤⎪=⎨⎪⎩其它（3）10cos() ||() 0 cc R πωττωτ⎧≤⎪=⎨⎪⎩其它（4）()=cos() ||c R τωττ≤∞ 解：（1）不能，因为零点连续，而4/π点不连续。

（2）能。

（3）不能，因为20c R()R()πω=，而R()τ又不是2c /πω的周期函数。

（4）能。

5. （10分）线性时不变系统的框图如下图所示。

若输入白噪声的双边功率谱密度01 W/Hz 2N =，求系统输出噪声的功率谱密度函数和自相关函数，以及输出噪声总功率。

解：系统的传递函数为()11R H j R j L j ωωω==++，则系统输出功率谱密度为()()()222112121Y X S S H j ωωωωω=⨯==⋅++。

输出噪声的自相关函数为()12Y R e ττ-=输出噪声总功率为102N Y P R ()(W )==6. （10分）设随机信号()()()()()sin Z t X t t Y t t ωω=-00cos ，其中ω0为常数，()()X t Y t 和均为零均值的平稳随机过程，并且相互正交。

问：（1） ()()X t Y t 和是否联合广义平稳？（2） 假如()()X Y R R ττ=，()Z t 是否为广义平稳的随机信号？ 证明：（1） 由于()()X t Y t 和相互正交，所以(,)(,)0XY YX R t t R t t ττ+=+≡，与t 无关 ，又因为()()X t Y t 和均为零均值的平稳随机过程，所以()()X t Y t 和是联合广义平稳随机信号。

（2） 假如()()X Y R R ττ=，[()][()()sin ]0E Z t E X t t Y t t ωω=-==00cos 常数(,)[()()]Z R t t E Z t Z t ττ+=+[][]{}()()()sin ()()()sin E X t t Y t t X t t Y t t τωττωτωω=++-++-0000cos cos[()()]()[()()]()E X t X t t t E X t Y t t t τωτωτωτω=++-++0000cos cos cos sin[()()]()[()()]()E Y t X t t t E Y t Y t t t τωτωτωτω-+++++0000sin cos sin sin由于()()X t Y t 和相互正交，所以[()()][()()]0E X t Y t E Y t X t ττ+=+=(,)[()()]()[()()]()Z R t t E X t X t t t E Y t Y t t t ττωτωτωτω∴+=+++++0000cos cos sin sin()()()()X Y R t t R t t τωτωτωτω=+++0000cos cos sin sin()()X Y R R τωττωτ==00cos cos ，与t 无关所以()Z t 是广义平稳的随机信号。

7. （10分）下列函数中哪些是实广义平稳随机信号功率谱密度的正确表达式？若是，求该信号的平均功率；若不是，请说明原因。

（1） 229()69S ωωωω+++= （2）2424()109S ωωωω+++=（3） 210()010S ωωω⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ （4）()()2S ωπδω=解：（1） 不可以。

不是偶函数。

（2） 可以。

()()42224111()109219S ωωωωω⎡⎤⎢⎥=-++++⎢⎥⎣⎦=，所以 3()R e e τττ--+11=412，所以1(0)3P R =+=11=412（3） 可以。

10101120()222P S d d ωωωπππ∞-∞-===⎰⎰（4） 可以。

11()2()122P S d d ωωπδωωππ∞∞-∞-∞===⎰⎰8. （10分）某语音随机信号()X t 满足广义各态历经性，现将该信号经过无线信道进行传输，假设信道噪声为广义各态历经的加性高斯白噪声()N t 。

讨论：（1） 收到的信号()()()Y t X t N t =+的均值各态历经性； （2） ()Y t 满足广义各态历经性的条件。

解：由()X t 满足广义各态历经性，所以()X t 广义平稳且满足：[()][()][()()][()()]xE X t A X t m t E X t X t A X t X t t ττ==⎧⎨+=+⎩，与无关，与无关 同理，()N t 广义平稳且满足：1[()][()]lim ()02[()()][()()]()2T T T o E N t A N t N t dt T N E N t N t A N t N t ττδτ-→∞⎧===⎪⎪⎨⎪+=+=⎪⎩⎰由于()X t 与()N t 是独立的，所以：[][]()()()X E Y t E X t N t m =+=()()(,)()()()()()()Y X N R t t E X t N t X t N t R R τττττ+=++++=+⎡⎤⎣⎦所以()Y t 是广义平稳的。

且有：[][][][][][]()()()()()()()X A Y t A X t N t A X t A N t E X t E N t m =+=+=+=所以，[]()()[][][][]()()()()()()()()()()()()()()A Y t Y t A X t N t X t N t A X t X t A N t N t A X t N t A N t X t τττττττ+=++++⎡⎤⎣⎦=+++++++[][]()(()()))(()X N A X t N X t N R t t R A ττττ+++++=由于[][]()()X E Y t A Y t m ==，所以()Y t 是均值各态历经的。

假如[][]()()()()0A X t N t A X t N t ττ+++=，则()Y t 是广义各态历经的。

9. （10分）已知平稳随机信号()X t 的功率谱密度24()4X S ωω=+ 。

()X t 通过频率响应为1()1H j ωω=+的系统后得到()Y t 。