第7章 多元函数微积分 测试题一、单项选择题。

1．设23)12(++=y x z ，则=∂∂yz（ D ）。

A ．13)12)(23(+++y x y B ．13)12)(23(2+++y x y C ．)12ln()12(23+++x x y D ．)12ln()12(323+++x x y 2．设)ln(y x z +=，则=)0,1(d z（ B ）。

A ．y x d d +- B ．y x d d + C ．y x d d - D ．y x d d -- 3．下列说法正确的是（ A ）。

A ．可微函数),(y x f 在),(00y x 处达到极值，则必有),(00y x f x 0),(00==y x f y ；B ．函数),(y x f 在),(00y x 处达到极值，则必有),(00y x f x 0),(00==y x f y ；C ．若),(00y x f x 0),(00==y x f y ，则函数),(y x f 在点),(00y x 处达到极值。

D ．若),(00y x f x 或),(00y x f y 有一个不存在，则函数),(y x f 在点),(00y x 处一定没有极值。

4．设uv z =，v u x +=，v u y -=，若把z 看作y x ,的函数，则=∂∂xz（ A ）。

A ．x 21 B ．)(21y x - C ．x 2 D ．x5．下列各点中（ B ）不是函数x y x y x z 9332233-++-=的驻点。

A ．)0,1( B ．)1,0( C ．)2,1( D ．)0,3(-6．二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),( 0)0,0(),( ),(22y x y x y x xyy x f 在点)0,0(处（ C ）。

A ．连续，偏导数存在B ．连续，偏导数不存在C ．不连续，偏导数存在D ．不连续，偏导数不存在 7．函数xy y x z ++=22的极值点为（ A ）。

A ．)0,0(B ．)1,0(C ．)0,1(D ．不存在8．根据二重积分的几何意义可知=⎰⎰Dy x d d （ B ），积分区域D 为1=+y x 及0=x ，0=y 围成的区域。

A ．1B ．21C ．2D ．3 9．下列不等式中正确的是（ D ）。

A ．0d )1(11≥-⎰⎰≤≤y x x σ B ．0d )(12222≥--⎰⎰≤+y x y x σ C ．0d )1(11≥-⎰⎰≤≤y x y σ D ．0d )1(11≥+⎰⎰≤≤y x x σ10．设⎰⎰+=Dy x I σd 31，⎰⎰+=Dy x I σd 2，⎰⎰+=Dy x I σd )(3，其中D 为圆盘2)1()2(22≤-+-y x ，则1I ，2I ，3I 的大小关系为（ A ）。

A ．321I I I ≤≤B ．312I I I ≤≤C ．123I I I ≤≤D ．231I I I ≤≤11．设),(y x f 在{}1,2 ),(≤≤=y x y x D 上连续，则对D y x ∈∀),(，当（ B ）时，0d ),(=⎰⎰Dy x f σ。

A ．),(),(y x f y x f =-B ．),(),(y x f y x f -=-C ．),(),(y x f y x f =-D ．),(),(y x f y x f =-- 12．二重积分⎰⎰2142d ),(d x y y x f x 交换积分次序后为（ C ）。

A ．⎰⎰2014d ),(d y x y x f y B ．⎰⎰2040d ),(d yx y x f yC ．⎰⎰140d ),(d yx y x f y D ．⎰⎰1024d ),(d yx y x f y13．设),(y x f 为任意连续函数，D 为顶点在)1,0( , )0,1( , )1,0( , )0,1(--的正方形区域，则二重积分⎰⎰Dy x f σd ),(可表为累次积分（ B ）。

A ．⎰⎰--1111d ),(d y y x f x B ．⎰⎰⎰⎰-+--+--+01111011d ),(d d ),(d x x x x y y x f x y y x f xC ．⎰⎰+--1011d ),(d x x y y x f x D ．⎰⎰+-101d ),(d 4x y y x f x14．设区域D 是单位圆域122≤+y x 在第一象限的部分，则二重积分⎰⎰+Dy x σd )(22化为二次积分是（ A ）。

A ．⎰⎰20103d d πθr r B ．⎰⎰πθ2013d d r rC ．⎰⎰2102d d πθr r D ．⎰⎰πθ2012d d r r15．设D 为上半圆域：0,1)1(22≥≤+-y y x ，则在极坐标系下二重积分⎰⎰+-Dy x e σd )(22可表为（ D ）。

A ．⎰⎰-120d d 2r r e r πθ B ．⎰⎰-1d d 2r r e r πθC ．⎰⎰-120d d 2r r erπθ D ．⎰⎰-θπθCOS r r r e2020d d 216．二重积分⎰⎰Dy x f σd ),(（D 由圆y y x 222=+围成的区域）化成极坐标系下的累次积分的结果是（ A ）。

A ．⎰⎰θπθθθsin 200d )sin ,cos (d r r r r f B ．⎰⎰θπθθθcos 20d )sin ,cos (d r r r r fC ．⎰⎰θπθθθsin 2020d )sin ,cos (d r r r r fD ．⎰⎰θπθθθsin 20d )sin ,cos (d r r r f二、填空题。

17．函数x y y x z arcsin 11322+--=18．如果2),(xy y x yx f =-+，则),(y x f 19．=→→yxyy x sin lim22。

20．二重积分⎰⎰Dy x y x f d d ),(（0),(>y x f ）的几何意义为为顶为底以以),(y x f D曲顶柱体的体积的·。

三、计算题。

21．计算极限22e)()cos(1lim222200y x y x y x y x ++-→→。

解 222222e )(2sin2lim e )()2sin 21(1lim e )()cos(1lim 22222002222200222200y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x ++=++--=++-→→→→→→ 0e 2lim e )(2)(lim 222222002222200=+==++=→→→→y x y x y x y x y x y x y x22．计算98.2)007.1(的近似值。

解：设y x y x f =),(，令10=x ，007.0=∆x ，30=y ，02.0-=∆y1),(-=y x yx y x f ，3)3,1(=x fx x y x f y y ln ),(=，0)3,1(=y f021.10007.031 )3,1()3,1()3,1()02.03,007.01()98.2,007.1(=+⨯+=∆+∆+≈-+=∴y f x f f f f y x即021.1)007.1(98.2≈23．求由方程x yz x x sin e +=所确定的隐函数),(y x z z =的两个偏导数xz∂∂和y z ∂∂。

解 设x yz x z y x F x sin e ),,(--=x x z y x F x x cos e )1(),,(-+=z z y x F y -=),,(y z y x F z -=),,(y x e x z y x F z y x F x zx z x cos )1(),,(),,(-+=-=∂∂ yz z y x F z y x F y z z y -=-=∂∂),,(),,(24．表面积为S 的长方体箱子中（箱子无盖），求体积最大者的边长。

解 设长方体的长、宽、高分别为z y x ,,，则题设问题归结为在约束条件0)(2),,(=-++=S yz xz xy z y x ϕ下，求函数)0,0,0(>>>=z y x xyz V 的最大值。

作拉格朗日函数)22(),,,(S yz xz xy xyz z y x L -+++=λλ由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++==++==++=0)22(0)2(0)2(y x xy L z x xz L z y yz L z y x λλλ可得zx zy x y 22++=，y x z x y z 222++= 进而解得 z y x 2==，将其代入约束条件，得到唯一的驻点)63,33,33(SS S 由问题的实际意义知，)63,33,33(SS S 为最大值点，即表面积为S 的长方体箱子中，以长为33S ，宽为33S ，高为66S 的长方体的体积最大，最大体积为S SV 186=。

25．计算⎰⎰Dxy σd ，其中D 是由曲线2x y =与直线2=+y x 围成。

解 画出积分区域的图形（如下图略）解方程组⎩⎨⎧=+=22y x x y 得交点)4,2(-和)1,1(，易见积分区域D 的积分限为12≤≤-x ，x y x -≤≤22，所以x y xy xy x xDd )d (d 1222⎰⎰⎰⎰-+-=σ26．计算⎰⎰+Dy σd )1(，其中D 是由1)1(22≤+-y x （0≥y ）所围成的区域。

解 画出积分区域的图形（如下图略）在极坐标下，积分区域D 的积分限为20πθ≤≤，θcos 20≤≤r ，所以⎰⎰⎰⎰+=+θθθσπcos 20d )1sin (d d )1(2r r r y D。