「 「一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。

这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。

函数与方程思想：若y =()f x 与x 轴有交点0x ⇔f (0x )=0若y =f (x )与y =g (x )有交点(0x ，0y )⇔()f x =()g x 有解0x 。

下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。

一．一元二次方程根的基本分布——零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。

比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。

设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两个实根为1x ，2x ，且21x x ≤。

【定理1】01>x ，02>x (两个正根)⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧∆=-≥⎪⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩， 推论：01>x ，02>x ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>=>≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=<≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 上述推论结合二次函数图象不难得到。

【例1】 若一元二次方程0)1(2)1(2=-++-m x m x m 有两个正根，求m 的取值范围。

分析：依题意有24(1)4(1)02(1)0101m m m m m mm ⎧⎪∆=++-≥⎪+⎪->⎨-⎪-⎪>⎪-⎩0<m <1。

【定理2】01<x ，02<x ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<-=+≥-=∆000421212a c x x a b x x ac b ，推论：01<x ，02<x ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>=>≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<≥-=∆00)0(042b c f a ac b 由二次函数图象易知它的正确性。

【例2】 若一元二次方程0332=-++k kx kx 的两根都是负数，求k 的取值范围。

（512-≤k 或k>3）【定理3】210x x <<⇔0<ac【例3】 k 在何范围内取值，一元二次方程0332=-++k kx kx 有一个正根和一个负根？分析：依题意有3k k-<0=>0<k <3【定理4】 ○101=x ，02>x ⇔0=c 且0<a b； ○201<x ，02=x ⇔0=c 且0>ab。

【例4】 若一元二次方程03)12(2=-+-+k x k kx 有一根为零，则另一根是正根还是负根？分析：由已知－3=0，∴=3，代入原方程得32设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两实根为1x ，2x ，且21x x ≤。

k 为常数。

则一元二次方程根的k 分布（即1x ，2x 相对于k 的位置）有以下若干定理。

【定理1】21x x k ≤<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->≥-=∆k ab k af ac b 20)(042【定理2】kx x <≤21⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->≥-=∆k ab k af ac b 20)(042。

【定理3】21x k x <<⇔0)(<k af 。

推论1 210x x <<⇔0<ac 。

推论2 211x x <<⇔0)(<++c b a a 。

【定理4】有且仅有11x k <（或2x ）2k <⇔0)()(21<k f k f【定理5】221211p x p k x k <<≤<<⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<>>0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<>><<0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a此定理可直接由定理4推出，请读者自证。

【定理6】2211k x x k <≤<⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<>>>≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b 或⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<<<<≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b三、例题与练习【例5】 已知方程02112=-+-m x x 的两实根都大于1，求m 的取值范围。

（412912<<m ）（2）若一元二次方程03)1(2=++-x m mx 的两个实根都大于-1，求m 的取值范围。

（6252+>-<m m 或）（3）若一元二次方程03)1(2=++-x m mx 的两实根都小于2，求m 的取值范围。

（62521+>-<m m 或）【例6】 已知方程032222=-++m mx x 有一根大于2，另一根比2小，求m 的取值范围。

（221221+-<<--m ） （2）已知方程012)2(2=-+-+m x m x 有一实根在0和1之间，求m 的取值范围。

（3221<<m ） （3）已知方程012)2(2=-+-+m x m x 的较大实根在0和1之间，求实数m 的取值范围。

变式：改为较小实根 （不可能；221<<m ）（4）若方程0)2(2=-++k x k x 的两实根均在区间（1-、1）内，求k 的取值范围。

（21324-<<+-k ） （5）若方程012)2(2=-+-+k x k x 的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k 的取值范围。

（3221<<k ）（6）已知关于x 的方程062)1(22=-++--m m mx x m 的两根为βα、且满足βα<<<10，求m 的取值范围。

（73-<<-m 或72<<m ）【例7】 已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围. (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围.本题重点考查方程的根的分布问题，解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义.技巧与方法：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制. 解：(1)条件说明抛物线f (x )=x 2+2mx +2m +1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧->-<∈-<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<+=>=-<+=65,21,21056)2(,024)1(,02)1(,012)0(m m R m m m f m f f m f ∴2165-<<-m . (2)据抛物线与x 轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<≥∆>>10,0,0)1(,0)0(m f f⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧<<--≤+≥->->⇒.01,2121,21,21m m m m m 或(这里0<－m <1是因为对称轴x =－m 应在区间(0，1)内通过) 练习：1． 若方程4(3)20xxm m +-•+=有两个不相同的实根，求m 的取值范围。

提示：令2x=t 转化为关于t 的一元二次方程有两个不同的正实根。

答案：0<m <1 2． 若关于x 的方程2lg(20)lg(863)0x x x a +---=有唯一的实根，求实数a 的取值范围。

提示：原方程等价于2220020863x x x x x a ⎧+>⎪⎨+=--⎪⎩即2200 12630x x x x a <->⎧⎨+++=⎩或……①……②令()f x =2x +12x +6a +3(1) 若抛物线y =()f x 与x 轴相切，有△=144－4(6a +3)=0即a =112。

将a =112代入式②有x =－6不满足式①，∴a ≠112。

(2) 若抛物线y =()f x 与x 轴相交，注意到其对称轴为x =－6，故交点的横坐标有且仅有一个满足式①的充要条件是(20)0(0)0f f -≥⎧⎨<⎩解得163162a -≤<-。

∴当163162a -≤<-时原方程有唯一解。

另法：原方程等价于2x +20x =8x －6a －3(x <－20或x >0)……③ 问题转化为：求实数a 的取值范围，使直线y =8x －6a －3与抛物线y =2x +20x (x <－20或x >0)有且只有一个公共点。

虽然两个函数图像都明确，但在什么条件下它们有且只有一个公共点却不明显，可将③变形为2x +12x +3=－6a (x <－20或x >0)，再在同一坐标系中分别也作出抛物线y =2x +12x +3和直线y =－6a ，如图，显然当3<－6a ≤163即163162a -≤<-时直线y =－6a 与抛物线有且只有一个公共点。

3． 已知()f x =(x －a )(x －b )－2(a <b )，并且α，β是方程()f x =0的两根(α<β)，则实数a ，b ，α、β的大小关系是( )A 、α<a <b <βB 、a <α<β<bC 、a <α<b <βD 、α<a <β<b 4． 方程()f x =2ax bx c ++=0(a >0)的两个根都大于1的充要条件是()A 、 △≥0且f (1)>0B 、 f (1)>0且－ab>2 C 、 △≥0且－a b >2，c a>1 D 、 △≥0且f (1)>0，－ab>2。

Oxy－20－6Oxy－20－6163 3。