二次函数——动点产生的线段最值问题
【例1】如图，在直角坐标系中，点A,B,C 的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过A,B,C 三点的抛物线的对称轴为直线l ． （1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；
（2）点E 是抛物线的对称轴上的一个动点，求当AE+CE 最小时点E 的坐标； （3）点P 是x 轴上的一个动点，求当PD+PC 最小时点P 的坐标；
（4）点Q 是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q 在什么位置时有QB QC -最大？并求出
最大值．
解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax 2
+bx+c ， ∵抛物线经过A 、B 、C 三点，
∴09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：123a b c =-⎧⎪
=⎨⎪=⎩
， ∴抛物线的解析式为：y=-x 2
+2x+3． ∵y=-x 2
+2x+3= 2
(1)4x --+，
∴该抛物线的对称轴为直线x=1，顶点D 的坐标为（1，4）． （2）∵点A 关于抛物线的对称轴的对称点为B ，则AE=BE ， 要使AE+CE 最小，即BE+CE 最小,则B 、E 、C 三点共线 如图，连接BC 交抛物线的对称轴于点E ， 解法一：设直线BC 的解析式为y=kx+n ，
则303k n n +=⎧⎨=⎩
,解得13k n =-⎧⎨=⎩
∴3y x =-+．当x=1时，3132x -+=-+=，∴点E 的坐标为（1，2） 解法二：设抛物线的对称轴交x 轴于点F ． ∵E F ∥y 轴，∴∠BEF =∠BCO ，∠BFE =∠BOC ∴△BFE ∽△BOC
∴
BF EF
BO CO =， ∴3133EF
-=, ∴2EF =
∴点E 的坐标为（1，2）
（3）作出点C 关于x 轴的对称点为C′，则C′（0，-3），OC′=3，
F
E
如图，连接C′D 交x 轴于点P ，
∵点C 关于x 轴的对称点为C′，则PC=P C′，
要使PD+PC 最小，即PD+P C′最小,则D 、P 、C′三点共线 设直线C′D 的解析式为y=kx+n ， 则43k n n +=⎧⎨
=-⎩,解得7
3
k n =⎧⎨=⎩
∴73y x =-．当y=0时，073x =-，∴3
7
x = ∴点P 的坐标为（
3
7
，0） （4）∵点A 关于抛物线的对称轴的对称点为B ，则QB=QA ， 要使QB QC
-最大，即QA QC
-最大,则A 、C 、Q 三点共线
如图，连接AC 交抛物线的对称轴于点Q ， 解法一：设直线AC 的解析式为y=kx+n ，
则03k n n -+=⎧⎨=⎩,解得3
3k n =⎧⎨=⎩
∴33y x =+．当x=1时，333136x +=⨯+=， ∴点Q 的坐标为（1，6）
解法二：设抛物线的对称轴交x 轴于点F ． ∵QF ∥y 轴，∴∠ACO =∠AQF ，∠AOC =∠AFQ ∴△AOC ∽△AFQ
∴
AO CO AF QF =， ∴1311QF =+, ∴6QF =
∴点Q 的坐标为（1，6） ∴221310QB QC
QA QC
AC -=-==+=
即当点Q 的坐标为（1，6）时，QB QC -有最大值，最大值为10．
Q
F
- - C ′
P
【作业1】（2011菏泽）如图，抛物线y=
2
1x 2
+bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A （-1，0）． （1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；
（3）点M （m ，0）是x 轴上的一个动点，当MC+MD 的值最小时，求m 的值．
解：（1）∵点A （﹣1，0）在抛物线y=2
1x 2
+bx ﹣2上， ∴21×（﹣1 ）2
+b×（﹣1）﹣2=0，解得b=-2
3 ∴抛物线的解析式为y=21x 2﹣2
3
x ﹣2．
y=21x 2﹣23x ﹣2=21（ x 2
﹣3x ﹣4 ）=21（x ﹣23）2﹣8
25， ∴顶点D 的坐标为 （23，﹣8
25
）．
（2）当x=0时y=﹣2，∴C（0，﹣2），OC=2． 当y=0时，21x 2﹣2
3
x ﹣2=0，∴x 1=﹣1，x 2=4，∴B （4，0）
∴OA=1，OB=4，AB=5．
∵AB 2
=25，AC 2
=OA 2
+OC 2
=5，BC 2
=OC 2
+OB 2
=20， ∴AC 2
+BC 2
=AB 2
．∴△ABC 是直角三角形．
（3）作出点C 关于x 轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，
连接C′D 交x 轴于点M ，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD 的值最小． 解法一：设抛物线的对称轴交x 轴于点E ． ∵ED∥y 轴，∴∠OC′M=∠EDM，∠C′OM=∠DEM ∴△C′OM∽△DE M ． ∴
ED
C O EM OM '=，∴8
25223=-m m , ∴m=4124
解法二：设直线C′D 的解析式为y=kx+n ，
则⎪⎩⎪
⎨⎧-=+=8252
32
n k n ,解得n=2，1241-=k
E
∴212
41
+-=x y ． ∴当y=0时，-41
24
,4124,021241=
∴==+m x x
【作业2】2011四川广安）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是直角梯形，BC ∥
AD ，∠BAD ＝ 90°，BC 与y 轴相交于点M ，且M 是BC 的中点，A 、B 、D 三点的坐标分别是A （－
1，0），B ( －1，2)，D ( 3，0)，连接DM ，并把线段DM 沿DA 方向平移到ON ，若抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 经过点D 、M 、N ． （1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线上是否存在点P ．使得PA ＝PC ．若存在，求出点P 的坐标；若不存在．请说明理由． （3）设抛物线与x 轴的另—个交点为E ．点Q 是抛物线的对称轴上的一个动点，
当点Q 在什么位置时有QE QC -最大？并求出最大值． 解：（1）由题意可得M （0，2），N （－3，2），
∴ 2,293,093.c a b c a b c =⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩ 解得：1,91,
32.
a b c ⎧
=-⎪⎪
⎪
=-⎨⎪
=⎪⎪⎩
∴211
2
93y x x =--+
（2）∵PA ＝PC ， ∴P 为AC 的垂直平分线上，依题意，AC 的垂直平分线经过（－1，2）、（1，0），
其所在的直线为y ＝－x ＋1．
根据题意可列方程组21,11
2.93y x y x x =-+⎧⎪
⎨=--+⎪⎩
解得：1132x y ⎧=+⎪⎨=--⎪
⎩2232x y ⎧=-⎪⎨
=-+⎪⎩∴P 1
（32+--）、P 2
（32--+）．
（3）如图所示，延长DC 交抛物线的对称轴于点Q ，根据题意可知此时点Q 满足条件． 由题意可知C （1，2），D （3，0），可求得CD 所在的直线的解析式为3y x =-+．
抛物线211
293
y x x =-
-+的对称轴为直线 1.5x =-． ∵点Q 在直线x ＝－1.5上，又在直线3y x =-+上．
∴Q （－1 .5，4.5），QE ＝QD ． ∴
QE QC QD QC CD -=-==
=．
即当点Q 的坐标为（－1.5，4.5）时，QE QC -
有最大值， 最大值为。