高二数学下学期第一次月考
（选修2-2第一、二、三章）
一：选择题（共12题，每小题5分，共60分）
1. 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）。

(A)假设三内角都不大于60度； (B) 假设三内角都大于60度；
(C) 假设三内角至多有一个大于60度； (D) 假设三内角至多有两个大于60度。

3.某个命题与正整数n 有关，如果当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当1+=k n 时命题也成立. 现已知当7=n 时该命题不成立，那么可推得 （ ）
A ．当n=6时该命题不成立
B ．当n=6时该命题成立
C ．当n=8时该命题不成立
D ．当n=8时该命题成立
4. 与直线042=+-y x 平行且与抛物线2x y =相切的直线方程是（ D ）
A. 032=+-y x
B. 032=--y x
C. 012=+-y x
D. 012=--y x 5. 下列求导数运算正确的是 (B)
A.（x +x 1)′=1+
2
1x
B. (log 2x )′=
2
ln 1x C. (3x )′=3x log 3e D. (x 2cos x )′= －2x sin x
6. 曲线5
5
1x y =
上点M 处的切线与直线x y -=3垂直，则切线方程为（ D ）
A. 0455=--y x
B. 0455=-+y x
C. 0455=-+y x 或0455=++y x
D. 0455=--y x 或0455=+-y x
8. 函数)4
3(sin 3π
+
=x y 的导数为 （ B ）
A. )4
3cos()4
3(sin 32π
π
+
+x x B. )4
3cos()4
3(sin 92
π
π
+
+
x x
C. )4
3(sin 92π
+
x D. )4
3cos()4
3(sin 92
π
π
+
+
-x x
9． 使函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为 D
A ．()+∞,2
B ． ()2,∞-
C ． ()0,∞-
D ． ()2,0
10． 若函数)(3x x a y -=的减区间为)3
3,3
3(-
，则a 的范围是 A
A ．0>a
B ．01<<-a
C ． 1->a
D ． 1<<-a 1 11. 函数223+--=x x y 的极值情况是（ D ）
A. 有极大值，无极小值
B. 有极小值，无极大值
C. 既无极大值也无极小值
D. 既有极大值又有极小值
12. 三次函数当1=x 时有极大值4，当3=x 时有极小值0，且函数过原点，则此函数是（B ）
A. x x x y 9623++=
B. x x x y 9623+-=
C. x x x y 9623--=
D. x x x y 9623-+= 二：填空题（共6题，每题5分，共30分） 13. 函数2
100x y -=
，当86≤≤-x 时的最大值为____10_______，最小值为_____6__。

14. 从1=1，1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4),…,推广到第n 个等式为
_________________________.
15. 曲线y =sin3x 在点P （3
π
,0）处切线的斜率为___3)3
(
,3cos 3-='='π
f x y ________。

16. 函数)2
2cos()2
2sin(π
π
+-
=x x x y 的导数是
x x x y x x x x x y 4cos 24sin 2
1,4sin 2
12cos 2sin +=
'==。

三：简答题(共60分) 17、（15分）
（1）求与曲线122
-=x y 相切且与014=++y x 垂直的切线方程。

（2） 求曲线x y cos =在点)2
1,34(
-πA 处的切线方程。

解析：所求切线斜率为4，由于x x f 4)(='，故1,44==x x ，切点)1,1(，
所求切线方程为034=--y x 。

（2）解析：由于x x sin )(cos -='，所以2
33
4sin =-=πk ，
切线方程为013
3423=--
-πy x 。

18. （15分）设a ，b ，x ，y ∈R ，且
（备选）求下列函数的导数： （1）1
22
+=
x x y ； （2）x
x y cos 1-=
； （3）2
cos 2sin x
x
x y -=
；
解析：（1）原式2
2
22
2
2
)
1(22)
1(22)1(2+-=
+⋅-+=
x x
x x
x x
（2）原式2
)
cos 1(sin cos 1x x x x ---=
（3）原式3
4
2
)
1(sin 2cos )4(2)cos 2(sin )sin 2(cos x
x x x x x
x
x x x x x -++=
⋅--⋅+=
19已知正数数列{an}满足11=a ，n
n n a a a +=
+11 ( +∈N n )
(1)求432,,a a a
(2)猜测an 的表达式 并证明你的结论。

变式：已知数列{a n }满足S n ＋a n ＝6n ＋2, (1) 写出a 1, a 2, a 3,并推测a n 的表达式；
(2) 用数学归纳法证明所得的结论。

（14分）
20．（15分） 已知函数y ＝12323-+x x 在区间) ,(0m 上为减函数, 求m 的取值范围。

解 由0492<+='x x y 得09
4<<-
x ，由于要求)(x f 在)0,(m 上单调减，
故)0,9
4()0,(-
⊆m ，所以)0,94(-
∈m 。

21、（1） 函数32
31
)1(x x y -=的单调区间，并求极值。

（2）求函数5363423+-+=x x x y 在区间[]2,2-上的最大值与最小值。

（1）解析：由0)1(3313
1
32
=--=
'x x x
y 得3
1=
x ，又当1,0==x x 时导数不存在，列表如下
由表知单调增区间为]3
1
,(-∞与),1[+∞；单调减区间为)1,3
1(。

极大值为3
4)3
1
(3
=
f ，极小值为0)1(=f 。

（2）答案：最大值57，最小值4115-；
解析：由0='y 解得2
32=-=x x 或，23)2(,4
115)2
3(,57)2(-=-
==-f f f。