高考模拟复习试卷试题模拟卷【考情解读】1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．【重点知识梳理】1．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos__θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos__θ的乘积．2．平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.(2)模：|a|＝a·a＝x21＋y21.(3)夹角：cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ x21＋y21·x22＋y22.3．平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．4．向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0．(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x1x2＋y1y2＝0(a ，b 均为非零向量)． (3)求夹角问题，利用夹角公式 cos θ＝a·b |a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21 x22＋y22(θ为a 与b 的夹角)．5．向量在三角函数中的应用与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、向量夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识．6．向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．【高频考点突破】 考点一 平面向量的数量积【例1】 (1)(·重庆卷)已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b|＝10，则a·b ＝________．(2)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为__________；DE →·DC →的最大值为________．【答案】(1)10(2)11规律方法 (1)求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算．但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．【变式探究】 (1)已知两个单位向量e1，e2的夹角为π3，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________．(2)已知点A ，B ，C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值是________．【答案】(1)－6(2)－25考点二 平面向量的夹角与垂直【例2】 (1)平面向量a ，b 满足|a|＝1，|b|＝2，且(a ＋b)·(a －2b)＝－7，则向量a ，b 的夹角为________．(2)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．【答案】(1)π2(2)712规律方法 (1)根据平面向量数量积的性质：若a ，b 为非零向量，cos θ＝a·b|a||b|(夹角公式)，a ⊥b ⇔a·b ＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题．(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角．【变式探究】 (1)已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是____________．(2)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t)b.若b·c ＝0，则t ＝________．【答案】(1)(－∞，－6)∪⎝⎛⎭⎫－6，32(2)2考点三 平面向量的模及应用【例3】 (1)已知向量a ，b 均为单位向量，它们的夹角为π3，则|a ＋b|＝() A ．1 B. 2 C. 3 D ．2(2)(·湖南卷)在平面直角坐标系中，O 为原点，A(－1，0)，B(0，3)，C(3，0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________．【答案】(1)C(2)1＋7 【规律方法】(1)求向量的模的方法：①公式法，利用|a|＝a·a 及(a±b)2＝|a|2±2a·b ＋|b|2，把向量的模的运 算转化为数量积运算；②几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．(2)求向量模的最值(范围)的方法：①代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；②几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．【变式探究】(1)如图，在△ABC 中，O 为BC 中点，若AB ＝1，AC ＝3，〈AB →，AC →〉＝60°，则|OA →|＝________．(2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________．【答案】(1)132(2)5考点四 平面向量在平面几何中的应用【例4】 (1)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．(2)(·天津卷)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC.若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ＝()A.12B.23C.56D.712【答案】(1)12(2)C规律方法 用平面向量解决平面几何问题时，在便于建立直角坐标系的情况下建立平面直角坐标系，可以使向量的运算更简便一些．在解决这类问题时，共线向量定理和平面向量基本定理起主导作用．【变式探究】 (1)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的______心．(2)在边长为1的菱形ABCD 中，∠B AD ＝60°，E 是BC 的中点，则AC →·AE →＝________．【答案】(1)重 (2)94考点五 平面向量在三角函数中的应用【例5】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫sin A2，cos A 2，n ＝⎝⎛⎭⎫cos A 2，－cos A 2，且2m·n ＋|m|＝22，AB →·AC →＝1. (1)求角A 的大小； (2)求△ABC 的面积S.规律方法(1)解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决．(2)熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、几何意义、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换、正、余弦定理等知识．【变式探究】已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.(1)若|a－b|＝2，求证：a⊥b；(2)设c＝(0，1)，若a＋b＝c，求α，β的值．考点六 向量在解析几何中的应用【例6】已知平面上一定点C(2，0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且⎝⎛⎭⎫PC →＋12PQ →·⎝⎛⎭⎫PC →－12PQ →＝0. (1)求动点P 的轨迹方程；(2)若EF 为圆N ：x2＋(y －1)2＝1的任一条直径，求PE →·PF →的最值．规律方法 向量在解析几何中的作用：(1)载体作用，向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题；(2)工具作用，利用a ⊥b ⇔a·b ＝0；a ∥b ⇔a ＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法．【变式探究3】已知点P(0，－3)，点A 在x 轴上，点Q 在y 轴的正半轴上，点M 满足PA →·AM →＝0，AM →＝－32MQ →，当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．【真题感悟】1.【高考广东，文9】在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形CD AB 是平行四边形，()1,2AB =-，()D 2,1A =，则D C A ⋅A =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】D2.【高考重庆，文7】已知非零向量,a b 满足||=4||(+)b a a a b ⊥，且2则a b 与的夹角为（） (A)3π (B) 2π(C) 32π (D) 65π【答案】C3.【高考福建，文7】设(1,2)a =，(1,1)b =，c a kb =+．若b c ⊥，则实数k 的值等于（ ） A ．32-B ．53-C ．53D ．32【答案】A4.【高考天津，文13】在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且21,,36BE BC DF DC ==则AE AF ⋅的值为． 【答案】29185.【高考浙江，文13】已知1e ，2e 是平面单位向量，且1212e e ⋅=．若平面向量b 满足121b e b e ⋅=⋅=，则b =．【答案】2331．（·北京卷）已知向量a ，b 满足|a|＝1，b ＝(2，1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R)，则|λ|＝________． 【答案】52．（·湖北卷）设向量a ＝(3，3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb)⊥(a －λb)，则实数λ＝________． 【答案】±33．（·江西卷）已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e1－2e2与b ＝3e1－e2的夹角为β，则cos β＝________．【答案】2 234．（·全国卷）若向量a ，b 满足：＝1，(a ＋b)⊥a ，(＋b)⊥b ，则|＝() A ．2 B.2 C ．1 D.22 【答案】B5．（·新课标全国卷Ⅱ] 设向量a ，b 满足|a ＋b|＝10，|a －b|＝6，则＝() A ．1 B ．2 C ．3 D ．5 【答案】A6．（·山东卷）在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为______． 【答案】167．（·天津卷）已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC.若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ＝()A.12B.23C.56D.712 【答案】C8．(高考湖北卷)已知点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为() A.322B.3152C ．－322D ．－3152答案：A9．(高考湖南卷)已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b|＝1，则|c|的取值范围是() A ．[2－1，2＋1] B.[]2－1，2＋2C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋2]答案：A10．(高考辽宁卷)设向量a ＝(3sin x ，sin x)，b ＝(cos x ，sin x)，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2.(1)若|a|＝|b|，求x 的值；(2)设函数f(x)＝a·b ，求f(x)的最大值．11．(高考陕西卷)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x)，x ∈R ，设函数f(x)＝a·b.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．【押题专练】1．已知a ，b 为单位向量，其夹角为60°，则(2a －b)·b ＝ () A ．－1B ．0C ．1D ．2【答案】B2．已知a ＝(1，sin2x)，b ＝(2，sin 2x)，其中x ∈(0，π)．若|a·b|＝|a||b|，则tan x 的值等于 () A ．1B ．－1C. 3D.22【答案】A3．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是()A. 2 B ．2 C ．0D ．1【答案】A4．在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，则AB →·AC →＝ ()A ．2 3B ．2C ．－2 3D ．－2【答案】D5．已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且关于x 的方程x2＋|a|x －a·b ＝0有两相等实根，则向量a 与b 的夹角是 ()A ．－π6B ．－π3C.π3D.2π3【答案】D6．向量a ＝(3，4)在向量b ＝(1，－1)方向上的投影为________．【答案】－227．已知平面向量a 与b 的夹角等于π3，若|a|＝2，|b|＝3，则|2a －3b|＝________．【答案】618．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则 |2a －b|的最大值与最小值的和为________．【答案】49．已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.(1)证明：a ⊥b ；(2)若存在不同时为零的实数k 和t ，使c ＝a ＋(t2－3)b ，d ＝－ka ＋tb ，且c ⊥d ，试求函数关系式k ＝f(t)．10．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a －3b)·(2a ＋b)＝61， (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b|；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积．11．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x 的函数f(x)＝13x3＋12|a|x2＋a·bx 在R 上有极值，则向量a 与b 的夹角的范围是()A.⎣⎡⎭⎫0，π6 B.⎝⎛⎦⎤π6，πC.⎝⎛⎦⎤π3，πD.⎝⎛⎭⎫π3，23π【答案】C12．在△ABC 中，设AC →2－AB →2＝2AM →·BC →，那么动点M 的轨迹必通过△ABC 的 () A ．垂心B ．内心C ．外心D ．重心【答案】C13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标为(3，a)，a ∈R ，点P 满足OP →＝λOA →，λ∈R ，|OA →|·|OP →|＝72，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为________．【答案】2414．已知平面上三点A ，B ，C ，BC →＝(2－k ，3)，AC →＝(2，4)．(1)若三点A，B，C不能构成三角形，求实数k应满足的条件；(2)若△ABC为直角三角形，求k的值．高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷第03节 几何概型A 基础巩固训练1.在区间[0，π]上随机取一个数x ，则事件“sin x≥cos x”发生的概率为( ) A.14 B.12 C.34D ．1 2.(·西城模拟)在区间[0,2]上任取两个实数a ，b ，则函数f(x)＝x3＋ax －b 在区间[－1,1]上有且只有一个零点的概率是( )A.18B.14C.34D.783.如图10-6-8所示，墙上挂有一边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，a2为半径的扇形，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是( ) A ．1－π4B.π4C ．1－π8D.与a 的取值有关4. (·阜阳模拟)一艘轮船从O 点的正东方向10 km 处出发，沿直线向O 点的正北方向10 km 处的港口航行，某台风中心在点O ，距中心不超过r km 的位置都会受其影响，且r 是区间[5,10]内的一个随机数，则轮船在航行途中会遭受台风影响的概率是( ) A.2－12B.1－22C.2－1D.2－ 25.在棱长为2的正方体ABCD －A1B1C1D1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A1B1C1D1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________． B 能力提升训练1. 【高考辽宁卷第6题】若将一个质点随机投入如图所示的长方形AB CD 中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是（ ） A ．2π B ．4π C ．6π D ．8π2. 在区间（0,1）内任取两个实数，则这两个实数的和大于13的概率为（ ） A ．1718 B ．79C ．29D ．1183.【湖北八校高三第二次联考数学试题】记集合{}22(,)|4A x y x y =+≤和集合{}(,)|20,0,0B x y x y x y =+-≤≥≥表示的平面区域分别为1Ω和2Ω，若在区域1Ω内任取一点(,)M x y ，则点M 落在区域2Ω的概率为.4.一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )A ．18B ．116C ．127D ．27645. (·福建三明质量检测)已知集合M ＝{x|－2≤x ≤8}，N ＝{x|x2－3x ＋2≤0}，在集合M 中任取一个元素x ，则“x ∈(M ∩N)”的概率是( )A ．110B ．16C ．310D ．12C 思维扩展训练1. 【东莞市高三模拟考试一】已知(2,1)A ，(1,2)B -，31,55C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，动点(,)P a b 满足02OP OA ≤⋅≤且02OP OB ≤⋅≤，则点P 到点C 的距离大于14的概率为（ ）A ．5164π-B ．564πC ．116π- D ．16π 2. 【高考重庆卷第15题】某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30—7:50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_____（用数字作答）3. （济南市高三3月考模拟考试）如图，长方体ABCD —A1B1C 1D1，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A —A1BD 内的概率为．4. 【北京市丰台区高三一模】设不等式组22100x y y ⎧+-≤⎨≥⎩，表示的平面区域为M ，不等式组201t x t y t-≤≤⎧⎪⎨≤≤-⎪⎩，表示的平面区域为N.在M 内随机取一个点，这个点在N 内的概率的最大值是_________. 5. 若k ∈[－3,3]，则k 的值使得过A(1,1)可以作两条直线与圆(x －k)2＋y2＝2相切的概率等于( )A ．12 B ．13 C ．23D ．34高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆一．基础题组1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．13-C ．23-D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．二．能力题组1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）A.4515- B.2515- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。