2020年高考模拟试题理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为A.5B.4C.3D.22、复数在复平面上对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3、小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书.则小波周末不在家看书的概率为A. 1417B.1316C.1516D. 9134、函数的部分图象如图示，则将的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为A. B. C. D.5、已知，，，则A. B. C. D.6、函数的最小正周期是A.πB. π2C. π4D.2π7、函数y=的图象大致是A．B．C．D．8、已知数列为等比数列，是是它的前n项和,若，且与2的等差中项为，则A.35B.33C.31D.299、某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有A.24种B.18种C.48种D.36种10如图，在矩形OABC中，点E、F分别在线段AB、BC上，且满足，，若（），则A.23B . 32C. 12D.3411、如图，F1，F2分别是双曲线C：(a，b＞0)的左右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M，若|MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是A. B. C. D.12、函数f（x）＝2x|log0.5x|－1的零点个数为A.1B.2C.3D.4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上13、设θ为第二象限角，若，则sin θ＋cos θ＝__________14、(a+x）4的展开式中x3的系数等于8，则实数a=_________15、已知曲线在点处的切线与曲线相切,则a=lny x x=+()1,1()221y ax a x=+++16、若42xππ<<，则函数3tan2tany x x=的最大值为三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生依据要求作答.17、已知数列的前项和为，且，对任意N，都有.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和.18、如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC＝CD＝2，AC＝4，∠ACB＝∠ACD＝，F为PC的中点，AF⊥PB。
（1）求PA的长；（2）求二面角B－AF－D的正弦值。
19、销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元，根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示，经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品，以X（单位：t,100≤X≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润。
（1）将T表示为X的函数；（2）根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若需求量X∈[100,110），则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110）的频率），求T的数学期望。
20、设点O为坐标原点，椭圆E：22221x ya b+=（a≥b＞0）的右顶点为A，上顶点为B，过点O且斜率为16的直线与直线AB相交M，且13MA BM=．（1）求椭圆E的离心率e；（2）PQ是圆C：（x－2）2＋（y－1）2＝5的一条直径，若椭圆E经过P，Q两点，求椭圆E的方程．21、设函数2()()lnf x x ax x a=+-∈R．（1）若1a=，求函数()f x的单调区间．（2）若函数()f x在区间(0,1]上是减函数，求实数a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22、在直接坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程为（为参数）。
（1）已知在极坐标（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，点的极坐标为（4，），判断点与直线的位置关系；（2）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值。
23、已知关于x的不等式（其中）。
（1）当a=4时，求不等式的解集；（2）若不等式有解，求实数a的取值范围。
2020年高考模拟试题 理科数学参考答案选择题：1、C ，由已知，得{z|z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B}＝{－1,1,3}，所以集合{z|z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B}中的元素的个数为3.2、A ，本题考查复数的运算及几何意义，所以点（位于第一象限3、B 方法一：不在家看书的概率=方法二：不在家看书的概率=1—在家看书的概率=1—4、D ，由图像知A=1, ,,由得，则图像向右平移个单位后得到的图像解析式为，故选D 。
5、D6、A,根据三角恒等变换化简可得7、D ，解：当x ＞0时，y=xlnx ，y′=1+lnx ，即0＜x ＜时，函数y 单调递减，当x ＞，函数y 单调递增，因此函数y 为偶函数， 8、C,设{}的公比为，则由等比数列的性质知，，即。
由与2的等差中项为知，，。
∴，即。
，，.9、A ，分类讨论，有2种情形：孪生姐妹乘坐甲车：则有孪生姐妹不乘坐甲车：则有所以共有24种，10、B ，以为坐标原点，如图建立直角坐标系．设，则∵，，∴．∵（），∴，∴即两式相加，得解得．11、B ，如图：|OB|＝b ，|O F 1|＝c ，∴k PQ ＝，k MN ＝﹣。
直线PQ 为：y ＝(x ＋c)，两条渐近线为：y ＝x ，由，得：Q(，)；由，得：P(，)，∴直线MN 为：y －＝﹣(x －)，令y ＝0得：x M ＝，又∵|MF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，∴3c ＝x M ＝，解之得：，即e ＝。
12、函数f （x ）＝2x |log 0.5x|－1的零点也就是方程2x |log 0.5x|－1＝0的根，即2x |log 0.5x|＝1，整理得|log 0.5x|＝.令g （x ）＝|log 0.5x|，h （x ）＝，作g （x ），h （x ）的图象如图所示，因为两个函数图象有两个交点，所以f （x ）有两个零点。
填空题13、由，得tan θ＝，即sin θ＝cos θ.将其代入sin 2θ＋cos 2θ＝1，得.因为θ为第二象限角，所以cos θ＝，sin θ＝，sin θ＋cos θ＝14、(a+x ）4的展开式的通项公式为 T r+1=a 4﹣r x r ，令r=3可得（a+x ）4的展开式中x 3的系数等于 ×a=8，解得a=215、曲线在点处的切线斜率为2，故切线方程为，与联立得，显然，所以由16: 设tan ,x t =142x t ππ<<∴>,4432224222tan 2222tan 2tan 81111111tan 1()244x t y x x x t t t t ∴=====≤=-------解答题17、1）解法1：当时，，，两式相减得，即，得.当时，，即. ∴数列是以为首项，公差为的等差数列。
∴.解法2：由，得，整理得，，两边同除以得，.∴数列是以为首项，公差为的等差数列。
∴.∴.当时，.又适合上式，∴数列的通项公式为.（2）解法1：∵，∴.∴，①，②①②得.∴.解法2：∵，∴.∴.由，两边对取导数得，.令，得.∴.18、（1）如图，连接BD 交AC 于O ，因为BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形，又AC 平分∠BCD ，故AC ⊥BD 。
以O 为坐标原点，，，的方向分别为x 轴，y轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O －xyz ，则OC ＝CD＝1，而AC ＝4，得AO ＝AC －OC ＝3，又OD ＝CD ＝，故A （0，－3,0），B （，0,0），C （0,1,0），D （，0,0）。
因PA ⊥底面ABCD ，可设P （0，－3，z ），由F 为PC边中点，F.又＝，＝（，3，－z ），因AF ⊥PB ，故·＝0，即6－＝0，（舍去），所以||＝.ln y x x =+()1,121y x =-()221y ax a x =+++220ax ax ++=0a ≠2808a a a ∆=-=⇒=(2）由（1）知＝（，3,0），＝（，3,0），＝（0,2，），设平面FAD 的法向量为n1＝（x 1，y1，z1），平面FAB 的法向量为n 2＝（x 2，y2，z2），由n1·＝0，n1·＝0，得因此可取n 1＝（3，，－2）。
由n 2·＝0，n 2·＝0，得故可取n2＝（3，，2）。
从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为cos〈n1，n2〉＝，故二面角B－AF－D的正弦值为19、（1）当X∈[100,130）时，T＝500X－300（130－X）＝800X－39 000，当X∈[130,150]时，T＝500×130＝65 000.所以（2）由（1）知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.（3）依题意可得T的分布列为所以ET＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 40020、（1）∵A（a，0），B（0，b），，所以M（，）．∴，解得a＝2b，于是，∴椭圆E的离心率e为．（2）由（1）知a＝2b，∴椭圆E的方程为即x2＋4y2＝4b2（1）依题意，圆心C（2，1）是线段PQ的中点，且．由对称性可知，PQ与x轴不垂直，设其直线方程为y＝k（x－2）＋1，代入（1）得：（1＋4k2）x2－8k（2k－1）x＋4（2k－1）2－4b2＝0设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，由得，解得．从而x1x2＝8－2b2．于是．解得：b2＝4，a2＝16，∴椭圆E的方程为．1(21)(1)x x-+∵当10,2x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x'<，()f x为单调减函数．当1,2x⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，()0f x'>，()f x为单调增函数．∴()f x的单调减区间为10,2⎛⎫⎪⎝⎭，()f x的单调增区间为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭．（2）∵1()2f x x ax'=+-，()f x在区间(0,1]上是减函数，∴()0f x'≤对任意(0,1]x∈恒成立，即120x ax+-≤对任意(0,1]x∈恒成立．令1()2g x xx=-，min()a g x≤．易知()g x在(0,1]上单调递减，∴min()(1)1g x g==-．∴1a-≤．22、(1）把极坐标系下的点化为直角坐标，得P（0，4）。