ab = a · b （a ≥0，b ≥0）；a二次根式教材分析一、学段地位二次根式是在学生学习了平方根、立方根等内容的基础上进行的，是对“实数、整式”等 内容的延伸和补充，对数与式的认识更加完善。
二次根式的化简对勾股定理的应用是很好的 补充；二次根式的概念、性质、化简与运算是后续学习解直角三角形、一元二次方程和二次 函数的基础.二次根式是初中阶段学习数与式的最后一章,是式的变形的终结章. 二、教学内容1.二次根式的相关概念（1）二次根式：形如 a （a ≥0）的式子叫二次根式;(2 ) 最简二次根式：被开方数的因数是整数，或因式是整式，不含能进一步开方的因数 或因式.(3 ) 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几 个二次根式就叫做同类二次根式. ☆(4 ) 分母有理化： 2．两个重要公式（ a ）2＝a （a ≥0）； a 2 =|a| .3．两个重要性质a =（a ≥0，b>0）．bb4．二次根式的运算（1）二次根式的乘除法乘法法则： a · b ＝ ab （a ≥0，b ≥0）;除法法则： ab a = （a ≥0，b>0）.b（2）二次根式的加减法(合并同类二次根式) 三、教学要求中考说明要求：知识数 与 代 数数与 式 考试水平 A B C 二次根式及其 了解二次根式 的 能根据二次根式的性质对 性质 概念，会确定二次 代数式作简单变形，能在根式有意义的 条 给定条件下，确定字母的 件 值二次根式的化 理解二次根式 的 会进行二次根式的化简， 简和运算 加、减、乘、除运会进行二次根式的混合运算法则 算（不要求分母有理化）aab b •• （ 2 a具体教学要求： 教学目标1．知识与技能（1）理解二次根式的概念．（2）理解 a （a ≥0）是一个非负数，（ a ）2=a （a ≥0）， a 2 =|a|（3）掌握 a · b ＝ ab （a ≥0，b ≥0）， ab = a · b （a ≥0，b ≥0）；aa = （a ≥0，b>0），= （a ≥0，b>0）． bb（4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减．2．过程与方法（1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．再对概念的内 涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，并运用 规定进行计算．（3）利用逆向思维，•得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简． （4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，•给出最简二次根式的概 念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和 化简的目的．3．情感、态度与价值观通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二 次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重点1．二次根式 a （a ≥0）的内涵． a （a ≥0）是一个非负数； a ）＝（a ≥0）； a 2 =|a|•及其运用．2．二次根式乘除法的法则及其运用． 3．最简二次根式的概念．4．二次根式的加减运算，实质是合并同类二次根式． 教学难点1．对 a （a ≥0）是一个非负数的理解；对等式（ a ）2＝a （a ≥0）及 a 2 =|a|的理解及应用．2．二次根式的乘法、除法的条件限制．3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式． 四、、本章课时安排:本章教学时间约需 9 课时(仅供参考）: 21．1 二次根式 约 2 课时 21．2 二次根式的乘除 约 2 课时 21．3 二次根式的加减 约 3 课时 数学活动 小结 约 2 课时解：（3）原=-3x y()()(m226．计算：（1）(5)0+5典型例题1.下列各式：0.1,3-8,-8,2a(a≥0),4a2+b2,a2+2a+1,a+1(a<-1),-6x(x≤0),a2+1,-b2-1中，哪些是二次根式？答：0.1,2a(a≥0),a2+2a+1,-6x(x≤0),a2+1,2.当x适合什么条件时，下列二次根式有意义？（1）1+x(2)31-x(3)1(x-1)2解：x≥-1解：x<1解：x≠1（4）1+x2（5）x2-12x+36解：全体实数解：全体实数3.（1）求使2m+-3m有意义的m的值。
解：m=0（2）若1-x2与x2-1都是二次根式，求x2+x2的值。
解：x=±1，x2+x2=24.（1）把根式外的因子移到根号里面，则x x=(答：x3，--x3,-x3.),x-x=(),-x-x=()（2）y>0,化简-x3y3答：-x y-xy5．把下列各式化成最简二次根式（1）42⨯847⨯150（2）75a4b6c2（bc<0）解：原=22⨯32⨯52⨯72⨯112=2310解：原=-5a2b3c3（3）-3x2y218xy（4）m6-m4n2-m2n4+n6(0<m<n) 2232⨯2xy3x2y23=-2x y=-9x y2x yxy xy xy（4）原=m4m2-n2-n4m2-n2=2+n2)(m2-n2)=(m+n2)(m+n)2(m-n)2=(n-m)(m+n)m2+n228⨯(5)-1（2）18--+(5-1)05222）、 18 -27、化简： 2 解：原式 = 2解：原式 = x - 1 ÷ x- 1 = x - 1 ⨯ 3 - 2 + 1 = ( )()20 x - 38( )解：1）、 ( 5) 0+ 5 1⨯ ( 5) -1 = 1 + 5 ⋅ = 1 + 1 = 25 58- + ( 5 - 1)0 = 3 2 - 2 - 2 + 1 = 2 + 1 2 2x 1x ⋅ 9 x + 6 x ⋅ - x 33 4 x 31 xx ⋅ 3 x + 6 x ⋅ x - x 3 ⋅3 2 x 2= 2 x x + 3x x - x x = 4 x x 8、化简并求值： 1 1 a - b- ( - a 2 + b 2 ) ，其中 a = 3 - 2 2, b = 3 2 - 32a a - b 2a1 1 a - b 1解：原式 = - ⨯ + ⨯ (a 2 - b 2 )2a a - b 2a a - b1 1 1 = - + ⨯ (a + b )(a - b ) = a + b 2a 2a a - b当 a = 3 - 2 2, b = 3 2 - 3 时，原式= a + b = 3 - 2 2 + 3 2 - 3 =29、化简： x - 1 1÷ ( x - ) ，并求出当 x = 3 - 2 时的值．x x2 x 1 =xx x( x + 1)( x - 1) x + 1当 x = 3 - 2 时, 原式=1 1 3 - 1 = 3 + 1 2.☆10、 已知 x = 19 - 8 3, 求x4 - 6 x 3 - 2 x 2 + 18x + 23 x 2 - 8x + 15的值。
的值。
解： x = 19 - 8 3 = 4 - 3,∴ x 2 = 19 - 8 3,∴19 - x 2 = 8 3,∴ x 4 - 38x 2 + 361 = 192∴ x 4 - 38x 2 + 169 = 0x 4 - 6x 3 - 2x 2 + 18x + 23x 2 (x 2 - 8x + 15)+ 2 x (x 2 - 8x + 15)- x 2 -12 x + 23∴=x 2 - 8x + 15x 2 - 8x + 15x 2 (x 2 - 8x + 15)+ 2 x (x 2 - 8x + 15)- (x 2 - 8x + 15)- 20 x + 38=x 2 - 8x + 1520 4 - 3 - 38= x 2+ 2 x - 1 -= 19 - 8 3 + 2 4 - 3 -x 2- 8x + 1519 - 8 3 - 84 - 3 + 15= 19 - 8 3 + 8 - 2 3 - 42 - 20 3= 6210．计算：1练习题（一）判断题：1．(2)2＝2．（）2．-1-x2是二次根式．（）3．132-122＝132-122＝13－12＝1．（）4．a，ab2，c二次根式．（）5．a+b的有理化因式为a-b．（）（二）填空题：6．等式(x-1)2＝1－x成立的条件是_____________．7．当x____________时，二次根式2x-3有意义．8．比较大小：3－2______2－3．119．计算：(3)2-()2等于__________．22241·a3＝______________．391111．实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示：a o b则3a－(3a-4b)2＝______________．y-2＝0，则x＝___________，y＝_________________．12．若x-8＋13．3－25的有理化因式是____________．1a是同类14．当12＜x＜1时，x2-2x+1－14-x+x2＝______________．15．若最简二次根式3b-1a+2与4b-a是同类二次根式，则a＝_____________，b＝______________．（三）选择题：16．下列变形中，正确的是………（）（A）(23)2＝2×3＝6（B）(-2)2＝－525（C）9+16＝9+16（D）(-9)⨯(-4)＝9⨯4 17．下列各式中，一定成立的是……（）（C）a2-1＝a+1·a-1（D）ab bab（A）x≥1b（A）123．（48－41（27．已知a＝1（A）(a+b)2＝a＋b（B）(a2+1)2＝a2＋11＝18．若式子2x-1－1-2x＋1有意义，则x的取值范围是（）11（B）x≤（C）x＝（D）以上都不对22219．当a＜0，＜0时，把ab化为最简二次根式，得…………………………………（）11ab（B）－ab（C）－-ab（D）b abb b b20．当a＜0时，化简|2a－a2|的结果是………（）（A）a（B）－a（C）3a（D）－3a（四）在实数范围内因式分解：（每小题4分，共8分）21．2x2－4；22．x4－2x2－3．（五）计算：1）－（3－20.5）；24．（548＋12－67）÷3；8325．50＋22+11a b b－4＋2(2－1)0；26．a3b－＋2＋ab）÷．2b a a（六）求值：1b b，b＝，求－的值．24a-b a+b28．已知x＝15-2，求x2－x＋5的值．29．已知x-2y＋3x+2y-8＝0，求(x＋y)x的值．（七）解答题：30．已知直角三角形斜边长为（26＋3）cm，一直角边长为（6＋23）cm，求这个直角三角形的面积．31．已知|1－x|－x2-8x+16＝2x－5，求x的取值范围．。