数值计算方法习题答案(第二版)(绪论)数值分析（p11页）4 试证：对任给初值x 0, (0)a a >的牛顿迭代公式112(),0,1,2,......k ak k x x x k +=+=恒成立下列关系式：2112(1)(,0,1,2,....(2),1,2,......kk k x k x a x a k x a k +-=-=≥=证明： （1）(22112222k k k k k k k kx a a x ax ax a x a x x x +-⎫⎛-+-=+-==⎪ ⎝⎭（2） 取初值0>x，显然有0>kx，对任意0≥k ，a a x a x x a x x k k k k k ≥+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2121216 证明：若kx 有n 位有效数字，则n kx-⨯≤-110218，而()k k k kk x x x x x 288821821-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=-+nnk k x x 2122110215.22104185.28--+⨯=⨯⨯<-∴>≥1k x +∴必有2n 位有效数字。
8 解：此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理： （设x 的近似数*x 可表示为mn a a a x10......021*⨯±=，如果*x具有l 位有效数字，则其相对误差限为()11**1021--⨯≤-l a xx x ，其中1a 为*x 中第一个非零数）则7.21=x，有两位有效数字，相对误差限为025.010221111=⨯⨯≤--x x e71.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.010221122=⨯⨯≤--x x e3 2.718x =，有两位有效数字，其相对误差限为：00025.010221333=⨯⨯≤--x e x②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解 对于7.21=x，0183.01<-e x∴其相对误差限为00678.07.20183.011≈<-x e x 同理对于71.22=x，有 003063.071.20083.022≈<-x e x对于718.23=x，有00012.0718.20003.033≈<-x e x备注：（1）两种方法均可得出相对误差限，但第一种是对于所有具有n 位有效数字的近似数都成立的正确结论，故他对误差限的估计偏大，但计算略简单些；而第二种方法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。
（2）采用第二种方法时，分子为绝对误差限，不是单纯的对真实值与近似值差值的四舍五入，绝对误差限大于或等于真实值与近似值的差。
11. 解:......142857.3722≈，.......1415929.3113255≈21021722-⨯≤-∴π，具有3位有效数字 61021113255-⨯≤-π，具有7位有效数字9.解：有四舍五入法取准确值前几位得到的近似值，必有几位有效数字。
令1x ,2x ,3x 所对应的真实值分别为*1x ,*2x ,*3x ，则① ∣1x -*1x ∣≤21⨯l -110=21⨯210-∣1x -*1x ∣/∣1x ∣＜21⨯210-/2.72＜0.00184② ∣2x -*2x ∣≤21⨯l -110=21⨯510- ∣2x -*2x ∣/∣2x ∣＜21⨯510-/2.71828＜0.00000184③ ∣3x -*3x ∣＜21⨯l -110=21⨯410- ∣3x -*3x ∣/∣3x ∣＜21⨯410-/0.0718＜0.000697 12.解：⑴x211+－xx +-11=)1)(21(22x x x ++⑵ 1-cosx=xx cos 1sin 2+=22sin 2x⑶ 1-xe ≈1+x+!22x +…+!n x n-1=x+!22x +…+!n x n13.解：⑴ xx 1+-xx 1-=xx x 1x 1x /2-++⑵ dt t x x⎰++1211=)1arctan(+x -x arctan设)1arctan(+x =a ，x arctan =b,则)tan(b a - =b a ba tan tan 1tan tan ⋅+-=)1(11++x x ∴)1arctan(+x -x arctan =)1(11arctan ++x x ⑶)1ln(2--x x =11ln2-+x x =)1ln(1ln 2-+-x x =-)1ln(2-+x x习题一（54页） 5.证明：利用余项表达式（11）（19页），当)(x f 为次数≤n 的多项式时，由于)(1x fn +=0，于是有)(x R n =)(x f －)(x P n=0,即)(x P n=)(x f ，表明其n 次插值多项式)(x P n就是它自身。
9.证明：由第5题知，对于次数≤n 的多项式，其n 次插值多项式就是其自身。
于是对于)(x f =1，有)(2x P =)(x f即，)(0x l )(0x f +)(1x l )(1x f +)(2x l )(2x f =)(x f则，)(0x l +)(1x l +)(2x l =1 11.分析：由于拉格朗日插值的误差估计式为)(x f －)(x P n =)!1)()1(++n f n （ξ∏=-nk kx x 0)(误差主要来源于两部分)!1)()1(++n f n （ξ和∏=-nk kx x 0)(。
对于同一函数讨论其误差，主要与∏=-nk kx x 0)(有关。
在（1）中计算x=0.472的积分值，若用二次插值，需取三个节点，由于0.472在1，2两个节点之间，所以应选1，2为节点，在剩下的两个点中，0x 与0.472更靠近，所以此题应选0x ,1x ,2x 为节点来构造插值多项式。
1202201010210121022120()()()()(1)()()()()()()()0.4955529()()x x x x x x x x p x y y x x x x x x x x x x x x y x x x x ----=+------+=--15.证明：由拉格朗日插值余项公式有 ︱)(x f －)(x p ︱≤∏=-12)(!2)(k k x x f ξ≤21︱))((1x x x x --︱10max x x x ≤≤︱)(2x f︱由于201)(x x -=21)(x x x x -+-=))((201x x x x --+21)(x x -+20)(x x-≥))((401x x x x --∴︱)(x f －)(x p ︱≤8)(201x x -10max x x x ≤≤︱)(2x f︱20.证明： 当n=1时，),(10x x F =011)()(x x x F x F --=C ·011)()(xx x f x f --=C ),(1x x f 假设当n=k 时，结论成立，则有 ),...,(0kx x F = C ),...,,(1kx x x f ；),...,(11+k x x F = C ),...,,(121+k x x x f ；那么，当n=k+1时， ),...,,(11+k x x x F =01011),...,(),...,(x xx x F x x F k k k --++=C1011),...,(),...,(x x x x f x x f k k k --++=C ),...,,(11+k x x x f证明完毕。
（类似的方式可证明第一个结论） 21.解：由定理4（26页）可知： ),...,,(1nx x x f =!)()(n f n ξ,其中niix x ≤≤∈ξξ0]max ,[m in当n>k 时，)()(x f n =())(n k x =0；当n=k 时，)()(x fn =())(k k x =!k ；∴),...,,(1nx x x f =⎩⎨⎧=>时当时当k n k n ,1,0 13.解：由题意知，给定插值点为x =0.32,0y =0.314567;1x =0.34,1y =0.333487;2x =0.36,2y =0.352274由线性插值公式知线性插值函数为)(1x P =0101y x x x x --+110y x x x x --=314567.002.034.0⋅--x +333487.002.032.0⋅-x 当x=0.3367时，3367.0sin ≈)3367.0(1P ≈0.0519036+0.2784616≈0.330365其截断误差为︱)(1x R ︱≤22M ︱))((10x x x x --︱，其中2M =10max x x x ≤≤︱)(2x f ︱)(x f =)sin(x ，∴)(2x f =-)sin(x ，∴2M =︱34.0sin ︱≈0.333487于是︱)3367.0(1R ︱≤21×0.333487×0.0167×0.0033≤0.92×510-若用二次插值，则得)(2x P =0201021))(())((y x x x x x x x x ----+1210120))(())((y x x x x x x x x ----+2120210))(())((y x x x x x x x x ---- 3367.0sin ≈)3367.0(2P ≈0.330374其截断误差为︱)(2x R ︱≤63M ︱)))((210x x x x x x ---（︱ 其中3M =20maxx x x ≤≤︱)(x f '''︱=20maxx x x ≤≤︱xcos ︱=32.0cos <0.950于是︱)3367.0(2R ︱≤61×︱0.950×0.0167×0.0033×0.0233︱<0.204×610-17解： 差商表为———————————————————————————————ix )(x f 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 五阶差商———————————————————————————————1 -32 0 33 15 15 64 48 33 9 15 105 57 12 1 06 192 87 15 1 0 0由差商形式的牛顿插值公式，有)(x P =)(0x f ＋))(,(01x x x x f -＋))()(,,(121x x x x x x x f --＋))()()(,,,(21321x x x x x x x x x x f ---=-3＋3)1(-x ＋6)2)(1(--x x ＋)3)(2)(1(---x x x23题：解：由于0)1()1()0(1===P P P ，则设2)1()(-=x Cx x P由1)12(2C ,1)2(2=-⋅⋅=得P ，则21=C所以2)1(21)(-=x x x P 24.解：由于3)3(,2)2(,1)1(,0)0(====P P P P 可设 )3)(2)(1()(---+=x x x Cx x x P由0)2(1=P 得)32)(12(21)(1=--⋅⋅+=C P α，有：21=C所以)3)(2)(1(21)(---+=x x x x x x P26．解：由泰勒公式有3200"00'0(!3)()(!2)())(()()(xx f x x x f x x x f x f x f -+-+-+=ξ设30200"00'0)()(!2)())(()()(x x C x x x f x x x f x f x P -+-+-+=其满足 )()(00x f x P j j =， 其中 2,1,0=j由)()(11x f x P =，得)()()()()(),(010"200'20110x x x f x x x f x x x x f C -----= 代入(*)式既可得)(x P .33.解： 由于[]2,0)(2C x S ∈，故在1=x 处有)1(),1(),1("'S S S 连续，即：⎩⎨⎧-=+=+121c b c b 解得：⎩⎨⎧=-=32c b 34、解：首先确定求解过程中涉及到的一些参数值。