第六章全同粒子体系6.1 全同粒子体系之前所讨论的问题都是单粒子问题，在自然界中经常碰到由多个粒子所组成的体系，称为多粒子体系，这些体系或者由非全同粒子构成或者由全同粒子构成，而我们关注是由全同粒子构成的体系。
首先研究由全同粒子组成的多粒子体系的特性。
1、全同粒子我们称质量m，电荷q，磁矩M，自旋S等固有属性完全相同的微观粒子为全同粒子。
其中，固有属性又叫内禀属性，如所有的电子，所有的质子系都是全同粒子系，在相同的物理条件下，全同粒子体系中的全同粒子的行为应该是相同的。
全同粒子体系有个重要的特点，就是我们量子力学第5个基本假设给出的。
2、量子力学基本假设全同性原理假设（不能由量子力学中的基本假设推出）：全同粒子具有不可区分性，交换任何两个粒子不引起体系物理状态的改变。
（不可区分性与交换不变性）量子力学中，粒子的状态是用波函数来描述的，如果描述两个粒子的波没有重叠，例如：把两个粒子分别置于两个不同的容器中，自然可以区分哪个是1粒子，哪个是2粒子；但如果描述两个粒子的波发生重叠，例如：氢原子中的两个电子，这两个全同电子就无法区分了，因为一切测量结果都不会因为交换而有所改变。
由于全同粒子的不可区分性，每个粒子都是处于完全相同的状态，所以交换任何两个全同粒子并不形成新的状态。
在自然界中，实际出现的状态，只是那些交换不变的态，其余的态实际都不存在，由全同性原理假设出发，可以得到全同粒子体系的一些重要性。
3、全同粒子体系ˆH算符的交换不变性粒子不可区分，单体算符形式一样。
在量子力学情况下，微观粒子不存在严格意义的轨道，对于粒子的坐标，我们仅知道粒子在某处出现的几率，设有两个全同粒子在不同时刻给它们照相，根据照片上的位置，在某一时刻把它两个粒子编号，则在后一时刻的照片上没有任何根据能指出哪个是第一号，哪个是第二号，即使两次的照片时间间隔再短，也无法分辨。
但我们又必须给粒子的“坐标”i q 编上号码（1,2,i N =），因为不可能把各个粒子的不同坐标的哦要用一个变量q来表示，这样，12,N q q q 代表第一个位置（含自旋），第二个位置，……各有一个粒子，不能规定是哪一个粒子；于是，12,N q q q 表示粒子的坐标（含自旋），但每一个坐标q 都不专属于某一个粒子，若把12,N q q q 顺序作任意置换后，也还是在(1,2,)i q i N =各有一个粒子。
假设有一由N 个全同粒子组成的体系，以i q 表示第i 个粒子的坐标和自旋的(),i i i q r S =，(),i U q t 表示第i 个粒子在外场中的能量，(),i j W q q 表示第i 个粒子与第j 个粒子之间的相互作用能量，则体系的Hamilton 量算符可写为：()()()122211ˆˆ,,,1,,22i jN NNi i i j i i j H H q q q q q t U q t W q q μ=≠==⎡⎤=-∇++⎢⎥⎣⎦∑∑ (6.1.1)显然交换两个粒子，全同体系的ˆH不变，即交换对称性。
这里我们引入：交换算符ˆijP ：它表示交换第i 个粒子与第j 个粒子的运算 ()()1212ˆ,,,,i jN i jN q qq q q H q q q q q ≡(6.1.2)全同性原理中，全同粒子的不可区分性使得体系ˆH具有交换不变性，同样全同性原理要求体系具有交换不变性，即交换任意两粒子，体系物理状态不变。
而量子力学中状态用波函数来描述，所以全同性原理对多粒子体系的波函数提出了新的限制，除了满足其它条件外（单位、连续、有限），还必须具有交换对称性。
4、全同粒子体系波函数的交换对称性考虑由N 个全同粒子组成的多体系，其状态用波函数()12,,i jN q q q q q ψ描述，ˆijP 表示第i 个粒子与第j 个粒子交换的算符，即 ()()1212ˆˆ,,,,ij i jN i jN P H q q q q q q q q q q ψ≡(6.1.3)由全同性原理可知，ˆijP 与ψ描述的是同一量子状态，在量子力学中，它们最多只能相差一个常数因子λ，即()()1212ˆ,,,,ij i jN i jN P q q q q q q q q q q ψλψ=(6.1.4)用ˆij P 在运算一次，得2ˆˆˆˆij ij ij ij P P P P ψλψλψλψ⋅=⋅==，所以得22ˆijP ψλψ=，说明,i j 交换两次等价于不变换，2ψλψ=，因而1λ=±。
这样，全同粒子的波函数必须满足下列关系式之一：()()()121212ˆ,,,,,,ij i jN i jN i jN P q q q q q q q q q q q q q q q ψψψ==+波函数交换对称；()()()121212ˆ,,,,,,ij i jN i jN i jN P q q q q q q q q q q q q q q q ψψψ==-波函数交换反对称。
即全同性原理要求，全同粒子波函数要么是交换对称的，要么是交换反对称的，而且这种交换对称性不随时间改变。
在这里，我们把交换对称与交换反对称统称为波函数的交换对称性。
5、全同粒子体系波函数的交换对称性取决于粒子的自旋迄今为止的一切实验事实表明，对于每一类全同粒子，它们波函数的交换对称性是确定的，但到底是波函数交换对称，还是交换反对称与粒子的自旋有确定的关系。
凡自旋为整数倍的粒子（0,1,2S =），波函数对于交换两粒子总是对称的。
例如，π介子（0S =），光子（S =）。
它们在统计上遵守Bose 统计法，故称波色子。
凡自旋为半奇数倍的粒子（35222,,,S =），波函数对于交换两粒子总是反对称的。
例如，电子、质子及中子等。
它们遵守Fermi 统计法，故称费米子。
由基本粒子组成的复杂粒子，如α粒子（氦核），31H （氚核），21H （氘核）。
复杂粒子究竟是费米子还是波色子取决于其中费米子的个数，而与波色子个数无关。
由N 个波色子构成的复杂粒子仍然是波色子（总自旋为的整数倍），其波函数满足交换对称；由偶数个费米子构成的复杂粒子是波色子（总自旋为的整数倍），其波函数满足交换对称；由奇数个费米子构成的复杂粒子是费米子（总自旋为的半整数倍），其波函数满足交换反对称。
Equation Chapter 6 Section 2§6.2全同粒子体系的波函数 全同性原理对全同粒子体系的波函数加上了新的限制，或者说条件，只能交换对称或反对称，这节讨论全同粒子体系对称性波函数的具体形式。
从2个粒子推广到N 个粒子的情况。
为方便先不考虑粒子间的相互作用，则两全同粒子组成的体系ˆH可写为()()()2010201ˆˆˆˆii H H q H q H q ==+=∑ (6.2.1)ˆH 是单粒子哈密顿算符，因为全同粒子，所以在同一体系中两粒子的哈密顿算符形式是相同的，只是变量不同。
当ˆH不显含时间t ，体系定态薛定谔方程为：()()1212ˆ,,H q q E q q Φ=Φ (6.2.2)先看单粒子的状态，两全同粒子满足的是同一个单粒子的定态薛定谔方程，设第1个单粒子处于0ˆH 的第i 个本征态1()i q φ，解量本征值为i q ；第2个单粒子处在第j 个0ˆH 的本征态2()j q φ上，解量本征值为j q 。
单粒子定态薛定谔方程为0ˆ,(1,2,3)i i i H i φεφ==，i φ为单粒子解量本征态，则第一个粒子的本征值和本征态为1(),i i q φε，第二个粒子的本征值和本征态为2(),j j q φε，则01110222ˆ()()()ˆ()()()i i i j j j H q q q H q q q φεφφεφ⎧=⋅⎪⎨=⋅⎪⎩ (6.2.3)体系的波函数为()1212,()()i j q q q q φφΦ=，能量为i j E εε=+，如果交换1，2两个粒子，即2号粒子在i φ态上，1号粒子在j φ态上，重复上述过程可得()2121,()()i j i j q q q q E φφεεΦ=⎧⎪⎨=+⎪⎩(6.2.4)它也是体系定态薛定谔方程的解。
显然同一解量对应两个定态波函数，因此该体系的解量是简并的，该简并是由于交换波函数中1，2粒子引起的，ˆH 的本征函数为()()12122121,()(),()()i j i j q q q q q q q q φφφφΦ=⎧⎪⎨Φ=⎪⎩(6.2.5)称为交换简并。
我们可以得出如下结论，两无相互作用的全同粒子体系，其定态薛定谔方程的解量本征值等于两单粒子本征解量之和，体系哈密顿量的本征函数等于两单粒子哈密顿量本征函数积，且是交换简并的。
上面的讨论可以推广到N 个全同粒子体系（不考虑粒子间的相互作用），则体系的本征函数及本征值分别为()121212,,()()()i j N N i j k N E q q q q q q εεεεεφφφ=++++⎧⎨Φ=⎩ (6.2.6)是交换简并的。
上述理论上交换简并的波函数解是不是自然界中实际能够存在的两粒子体系的波函数呢？全同粒子体系的波函数要满足交换对称性，费米子满足波函数交换反对称，波色子满足波函数交换对称。
下面我们分两种情况进行讨论： 1、费米子体系如果所讨论的全同粒子体系由费米子组成，则体系的波函数满足交换反对称。
首先讨论两费米子系，(6.2.5)两式的简并波函数显然不是交换反对称的，我们必须将波函数反对称化，可以将这些简并的，不满足波函数交换反对称的波函数(6.2.5)两式通过适当的线性组合构造出满足交换反对称的波函数。
如：对两费米子体系，我们可以利用(6.2.5)两式构造出如下的反对称的波函数()()()121221,,,A A q q N q q q q Φ=Φ-Φ⎡⎤⎣⎦，该波函数在考虑粒子间的相互作用仍然可用，其中A N 为归一化常数，()()()12122112211212,,,()()()()()()()()A i j i j i i j j q q q q q q q q q q q q q q φφφφφφΦ=Φ-Φ⎡⎤⎣⎦⎡⎤=-⎣⎦=(6.2.7)显然()12,A q q Φ也还是体系ˆH 的本征函数，本征解量为i jE εε=+。
推广到N 费米子体系，其交换反对称的ˆH 的本征函数为，（它应为N 个单粒子波函数乘积的各不同交换形式线性组合）()1212121212()()()()()(),,()()()()()()i i i N j i i N A N k k k N P i i k N Pq q q q q q q q q q q q P q q q φφφφφφδφφφΦ==⋅⋅ (6.2.8)1P δ=+，p 为偶排列，1P δ=-，p 为奇排列。