例题5.1 假设我们有两个没有相互作用——它们相处在一起 运动……不要深究这个在现实中到底会不会发生——的粒子， 质量都为m，处在无限深方势阱中(见2.2节)。单粒子态为： ψn(x)=2asinnπax, En=n2K(方便起见令K≡π2ћ2/2ma2。)如 果粒子是可分辨的，粒子1在n1态上，粒子2在n2态上，完整 的波函数为简单乘积：
第5章 全同粒子
5.1 双粒子体系 5.2 原子 5.3 固体 5.4 量子统计力学
5.1 双粒子体系
5.1.1 玻色子和费米子 5.1.2 交换力
5.1.1 玻色子和费米子
我们可以简单地构造一个波函数，这个波函数并不给出哪个粒 子是处于哪个态。有两种不同的构造方法： ψ±(r1,r2)=A［ψa(r1)ψb(r2)±ψb(r1)ψa(r2)］.(5.10) 这样，理论上将允许两种全同粒子：玻色子(Bosons)，这时上 式取正号；费米子(Fermions)，这时上式取负号。光子和介子 是玻色子；质子和电子是费米子。恰巧的是： 所有自旋为ћ整数倍的粒子为玻色子所有自旋为ћ半整数倍的 粒子为费米子(5.11) 这种自旋与统计(我们将看到，玻色子和费米子有截然不同的 统计性质)之间的联系，可以在相对论量子力学中得到证明； 在非相对论理论中，它被作为一个公理3。
表5.1 周期表前四行元素的基态电子组态
表5.1 周期表前四行元素的基态电子组态
5.3.1 自由电子气体 5.3.2 价带结构
5.3 固体
5.3.1 自由电子气体
图5.3 自由电子气。格子中的每一个 交点代表一个定态。阴影立方体为一
个态所占据的体积
图5.4 k空间中一个球壳的八分之一
5.3.2 价带结构
5.4.4 α和β的重要物理意义
图5.8 T=0以及T>0时的费米-狄拉克分布
5.4.5 黑体谱
1.一个光子的能量与它的频率满足普朗克方程，E=hν=ћω。 2.波数k和其频率满足k=2π/λ=ω/c,c为光速。 3.只有两个自旋态存在(量子数m可以为+1或-1，但不能为0)。 4.光子数不是守恒量；当温度升高时，光子数(每单位体积的)将 增加。
ψn1n2(x1,x2)=ψn1(x1)ψn2(x2), En1n2=(n12+n22)K. 例如，基态为 ψ11=2asinπx1asinπx2a, E11=2K； 第一激发态是双重简并的：
ψ12=2asinπx1asin2πx2a, E12=5K,
ψ21=2asin2πx1asinπx2a, E21=5K; 等等，依次类推。如果两个粒子为全同玻色子，基态保持不变， 但第一激发态变成非简并的：
图5.9 普朗克的黑体光谱公式，式5.113
2asinπx1asin2πx2a+sin2πx1asinπx2a (能量仍然为5K)。如果两个粒子为全同费米子，能量为2K的 态不存在；基态为 2asinπx1asin2πx2a-sin2πx1asinπx2a， 其能量为5K。
5.1.2 交换力
图5.1 共价键示意图 a)对称结构产生吸引力 b)反对称结构产生排斥力
5.2.1 氦原子 5.2.2 元素周期表
5.2 原子
5.2.1 氦原子
图5.2 氦原子能级图(符号的解释在5.2.2节中)。注意到仲氦能量都比对应的正氦能量高。垂直 轴的数值是相对于氦离子(H )基态的：4×(-13.6)eV=-54.4 eV；减去54.5 eV就得到态的总能量
5.2.2 元素周期表
图5.5 狄拉克梳，式5.57
图5.6 β=10时f(z)(式5.66)的图像，可以看出允带(阴影部分)被禁带(
)所分割
图5.7 周期势所允许的能 量基本形成了连续带
5.4 量子统计力学
5.4.1 5.4.2 5.4.3 5.4.4 5.4.5
一个例子 一般情况 最概然组态 α和β的重要物理意义 黑体光谱