b
VaA(x)dx
即得
D D ff( (x ,y ) )d d a b a [ b d x 1 2 (( x x ) )1 2 (f( x x ) ()x f,y () x d ,y y ]) d d x y .
公式1
上式称为 y后先 x对 的对 二次积分
几点小结
Df(x ,y )d x d ya b [ 1 2 (( x x ))f(x ,y )d y ]d x
①通过体积作 ,实为 现过 了渡 二重积 计分 算的 方一 法种
通过计算两次(单 定积 积)来 分 分求. 解
②二重积分的计算关定键限是：投影穿线法
定限口诀
D X : a x b , 1 ( x ) y 2 ( x ).
后积先定限(投影)
(后积变量上下限必为常数)
限内划条线(穿线) 先交下限写
§10.2 二重积分的计算法（一）
一 利用直角坐标计算二重积分 二 小结 思考题
复习与回顾
n
(1)二重积分 Df(x,y)dl i0m i 1f(i,i) i
(2)回顾一元函数定积分的应用
平行截面面积为已知的立体的体积的求法
在点x处的平行截面的面积为: A(x)
oa
体积元素 dVA (x)dx A(x)
(2)［Y－型域］ cyd, 1 (y ) x2 (y ).
d
x1(y)
c
D x2(y)
d
x1(y) D
c
x2(y)
[Y—型区域的特点]穿过区域且平行于x 轴的直线与区 域边界相交不多于两个交点.
(3) [既非X－型域也非Y－型域]
则必须分割.
在分割后的三个区域上分别都 是X－型域(或Y—型域)
2(2yy3)dy11
1
2
8
1
o1
2x
例2 计算 y1x2y2d,D:由 yx,x1,
D
和 y1所围闭 . 区域
y
解 D 既是X—型域又是—Y型域 法1 DX :x1yx11
1
D y=x
－1 x o
1x
上 式 1 d x1y1 x2 y2 d y 1 x
12
1dx1(1x2y2)1 2d(1x2y2)
1 x
1 2
法2
DY
:11
y1 xy
原 式 1d yyy1 x 2 y 2 d x －1 D 1 1
1
y
yd y
1x2y2d x
1
1
y
1
y y=x
o
1x
－1
注意到先对x 的积分较繁，故应用法1较方便
注意两种积分次序的计算效果！
例3 计 x 算 d y ,其 D ： 中 y2 由 x及 yx2 所围.闭
xyd0 1d xxxxd y1 4d xx x 2xd y
D
D1
D2
计算较繁
本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！
小结
以上三例说明，在化二重积分为二次积 分时，为简便见需恰当选择积分次序； 既要考虑积分区域 D 的形状，又要考 虑被积函数的特性(易积)
5.【简单应用】
例4
求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的
D
解 D既是X—型域 又是Y—型域 先求交点
由 y2x (11, 或 ) (4,2) yx2
法1
1y2 DY :y2 xy2
xd y2dyy2xd yx 1 y2
D
2
y2
ydy xdx
5
5
1
y2
8
法2 视为X—型域 D1:0xx1y x
则必须 D分 D 1D 割 2 1x4
D2:x2y x
x0[a,b]
作平x面 x0
x0[a,b]
yy22((xxz))z
yy
2(x0)
作平x面 x0
zzff((xx,,yy))
AA((xx0 )0 )
1(x0) oo aa xx00
xx
bbyy1(1x()x)
1(x0)
2(x0)
A A ((x x0)) 1 2 1 (2 ((x(x x)x 0 )0 ))ff(x (,xy 0,)y d)ydy
体积为
b
V A(x)dx
a
x xdx b
x
一、利用直角坐标系计算二重积分
1. [预备知识]
(1)［X－型域］
axb, 1 (x )y 2 (x ).
y2(x)
D
y1(x)
a
b
y2(x)
D
y1(x)
a
b
其中函数 1(、x) 在2(x区) 间 上[a连,b续] .
[X—型区域的特点] 穿过区域且平行于y 轴的直线与区 域边界相交不多于两个交点.
该线平行于坐Βιβλιοθήκη y标轴且同向后交上限见
oa
b
f
D
(x,
y)d
dx a
2(x)
f (x,y)d y
1(x)
y2(x)
D
y1(x)
x bx
(2)若积分 Y域 型为 域 :
y x1y
d
cyd, 1 (y ) x2 (y ). y
D x2y
c
f(x,y)dxdy d d y 2(y) f(x,y)dx
D3 D1
D2
由二重积分积分区域的可加性得
.
D
D1
D2
D3
2.【二重积分公式推导】
(1) 若积分区域为X－型域： axb, 1 (x )y2 (x ).
且f设 (x,y)0
则f (x, y)d的值等于D为 以底，以曲面
D
z f(x,y)为曲顶的曲顶柱积体．的体
方法 根据二重积分的几何意义以及计算“平行截面面积 为已知的立体的体积”的方法来求.
为计算方便,可选择积分次序, 必要时还可交换积分次序. (见后续补充例题)
(3) 若积分域较复杂,可将它分成若干 X-型域（或Y-型域）
D
D1
D2
D3
y D2
D1 D3
o
x
4. 【例题部分】
例1 计算 x d y ,其D ： 中 y 由 1 ,x2 及 yx所围. 闭
D
解 Ⅰ
看作X－型域
DX
:
1 1
体积V.
z x2y2R2
解 设两个直圆柱方程为
x2y2R2, x2z2R2
R
利用对称性, 考虑第一卦限部分,
D
c
1(y)
o 公式2
x
即化二重积分 x后为 对 y的 先二 对次.积分
3.【二重积分的计算步骤可归结为】
①画出积分域的图形，标出边界线方程； ②根据积分域特征，确定积分次序； ③根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算。
[说明] (1) 使用公式1必须是X－型域，公式2必须是Y－型域. (2) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 ,
x y
2 x
y
y=x D
Dxd y1 2dx1 xxd y y1 2[xy 2 2]1 xdx
2(x3x)dx11
12 2
8
o
y
1
y =1 x2
x
解Ⅱ
看作Y－型域
1 y 2 DY :y x 2
2
y
x=y
D
x=2
Dxd y1 2dyy 2xd y x1 2[yx 2 2]2 ydy