柯西不等式的证明及其应用摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用六种不同的方法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用，最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。

关键词：柯西不等式，证明，应用Summar y： Cauchy's inequality is a very important inequality, this article use six different methods to prove the Cauchy inequality, and gives some Cauchy inequality in inequality, solving the most value, solving equations, trigonometry and geometry problems in the areas of application, the last used it proved that point to the straight line distance formula, better explains the Cauchy inequality.Keywords ：Cauchy inequality, proof application不等式是数学的重要组成部分，它遍及数学的每一个分支。

本文主要介绍著名不等式——柯西不等式的证明方法及其在初等数学解体中的应用。

柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用几种不同的方法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用。

一、相关定理柯西不等式是指下面的定理定理 设,(1,2,...,),i i a b R i n ∈=则222111()()()nnni i i i i i i a b a b ===≤∑∑∑当数组a 1，a 2，…，a n ,b 1，b 2，…，b n 不全为0时，等号成立当且仅当(1)i i b a i n λ=≤≤.柯西不等式有两个很好的变式：变式1 设,0(1,2,...,),i a R bi i n ∈>= 221()ni i i ii a a b b =≥∑∑∑,等号成立当且仅当(1)i i b a i n λ=≤≤变式2 设a i ,b i 同号且不为0（i=1，2，…，n ）则21()ni i i i i ia ab a b =≥∑∑∑,二、柯西不等式的证明： 常用的证明柯西不等式的方法有： 1）配方法：作差：因为222111()()()nnniji i i j i a b a b ===-∑∑∑所以222111()()()n n n iji i i j i a b a b ===-∑∑∑0≥，即222111()()()n n niji i i j i a b a b ===≥∑∑∑即………………222222*********()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++ 当且仅当……0(,1,2,,)i j j i a b a b i j n -==即…………(1,2,,;1,2,,;0)ji j i ja a i n j nb b b ===≠时等号成立。

2）利用判别式证明（构造二次函数法）若210ni i a ==∑，则12....0.n a a a ====此时不等式显然成立。

若210ni i a =≠∑，构造二次函数()2221112n n n i i i i i i i f x a x a b x b ===⎛⎫⎛⎫=•-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑()210ni i i a x b ==-≥∑对于x ∈R 恒成立，所以此二次函数()f x 的判别式△≤0，即得证。

3）用数学归纳法证明i ）当1n =时，有2221112()a b a b =，不等式成立。

当n=2时，22222112212221122()2a b a b a b a b a b a b +=++222222222222121211221221()()a a b b a b a b a b a b ++=+++。

因为2222122111222a b a b a b a b +≥，故有2222211221212()()()a b a b a a b b +≤++ 当且仅当1221a b a b =，即1212a ab b =时等号成立。

ii ）假设n k =时不等式成立。

即 (222222)211221212()()()k k k k a b a b a b a a a b b b +++≤++++++当且仅当 (12)12n na a ab b b ===时等号成立。

那么当1n k =+时，当且仅当……1111212111,,,k k k k k k k k a b b a a b b a a b b a ++++++===时等号成立， 即 (112)121k k k k a a a a b b b b ++====时等号成立。

于是1n k =+时不等式成立。

由i ）ii ）可得对于任意的自然数n ，柯西不等式成立。

4）用向量法证明设n 维空间中有二个向a ……12(,,,)n a a a =，b ……12(,,,)n b b b =，其中…………1212,,,;,,,n n a a a b b b 为任意两组实数。

由向量的长度定义，有a =b=又由内积的定义，a b ⋅ =a b cos θ,其中θ是a ,b 的夹角， 且有a b ⋅……1222n n a b a b a b =+++。

因|cos θ|1≤，故a b ⋅≤a b ，于是|……1122n n a b a b a b +++|即当且仅当|cos θ|1=时，即a 与b 共线时等号成立。

由a ,b 共线可知……1122,,,n n a b a b a b λλλ===()R λ∈ 即 (12)12n na a ab b b ===……(0,1,2,,)i b i n ≠= 由以上，命题得证。

5) 利用均值不等式当()()…………2222221212n n a a a b b b ++++++=0时不等式显然成立当()()…………2222221212n n a a a b b b ++++++≠0柯西不等式可化为1 ≥()()()211222222221112.........n n nna b a b a b aa abb b+++++++++。

由均值不等式可知()()()211222222221112.........n n n n a b a b a b a a a b b b +++++++++≤2222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= (2222)1122222222222212121212 (2)n n n n n na b a b a a a b b b a a a b b b ++++++++++++++++=1即1≥()()()211222222221112.........n n nna b a b a b aa abb b+++++++++当且仅当 (12)12n na a ab b b ===……(0,1,2,,)i b i n ≠=时等号成立。

从而柯西不等式得证。

而变式一 二可由柯西不等式稍加变形容易得到。

三、柯西不等式的应用： 1）证明不等式在不等式的证明中，柯西不等式的作用是很突出的。

有些不等式的证明用常归方法很繁琐，而用柯西不等式却很简单。

例 a>b>c>d ，求证：1119a b b c c a a d++≥----。

证 因为a-d=(a-b)+(b-c)+(c-d)>0,由柯西不等式知()111()a d a b b c c a-++--- =[(a-b)+(b-c)+(c-d)] 111()a b b c c a++--- ≥()2111++=9 从而1119a b b c c a a d++≥----。

例2221222212 (1)...1n na a a x x x +++=+++=，求证：1122...1n n a x a x a b +++≤证法一：（常用证法）221111222222222,...2,2,nnn n a x a x a x a x a x a x +≥+≥+≥把上面n 个不等式相加，得()()22222212121122......22...2,n n n n aa a x x x a x a x a x +++++++≥+++即()1122112222 (1)n n n n a x a x a x a x a x a x ≥+++∴+++≤证法二：（利用柯西不等式来证明）分析求证的不等式特点，可构造如下两组数：1212,,...;,...n n a a a x x x 由柯西不等式（A ）有()()()2222222112212121122 (1)n n n n n n a x a x a x a a a x x x a x a x a x +++≤++++++∴+++≤两相比较，可见用柯西不等式证明较为简捷例i x R +∈，2，…n ）且111ni i i x x ==+∑，求证：112ni i j i i j nx x x =≤<≤≥∑∑[5]证 注意到恒等式12i j i j nx x ≤<≤∑=()22i i x x -∑∑，只需要证明1nii x =∑≥()22iix x-∑∑即()221ni ii i x x x =≤+∑∑∑上式左边=2⎛ ⎝≤()()11i i i i x x x x ⎛⎫+• ⎪+⎝⎭∑∑ =21nii i x x =+∑∑，得证。

例,,a b c , λ满足a ≥λ>0,b ≥λ ,c ≥λ求证2≥证因为a≥λ>0,≤2aλλ+-=2a2b≤2c，故+≥222222a b cb c c a a b+++++由柯西不等式可知()()()222a b c b c a c a b+++++⎡⎤⎣⎦222222a b cb c c a a b⎛⎫++⎪+++⎝⎭()22a b c≥++从而222222a b cb c c a a b+++++≥()()()()22222a b ca b c b c a c a b+++++++=()()223a b cab bc ac++++又()22a b c++=6()ab bc ac+++()()()222b c c a a b-+-+-()6ab bc ac≥++故222222a b cb c c a a b+++++≥2≥2 当且仅当2a b cλ===时等号成立。