力和横向体力），板上面的边界条件为:
z z t q 2
将 z的表达式代入该边界条件，得薄板挠曲微分方程:
4 q
D
14
其中
D

12
Et 3
1
2
称为薄板的弯曲刚度。
薄板挠曲微分方程也称为薄板的弹性曲面微分方 程，它是薄板弯曲问题的基本微分方程。
15
第三节 横截面上的内力
D点的挠度为 dy
y
由
xz

0和

yz

0 可知
u z

w x

0,
或写成 u w , z x
v w z y
v w 0 z y
对z进行积分，并利用 uz0 0, vz0 0 ，得
u w z, v w z
将应力分量用挠度 表示的物理方程代入上式，并化
简得：
zx
z
Ez
1 2
2
x
zy Ez 2 z 1 2 y
由于挠度 不随z 变化，且薄板在上下面的边界条
件为：
zx z t 0, 2
zy z t 0 2
12
（1）几何方程
在薄板的中面上取一微
小矩形ABCD如图所示。它的
边长为dx和dy，载荷作用后，
弯成曲面A’B’C’D’。设A点
的挠度 为 ，弹性曲面沿x和
y方向的倾角分别为 和 ， x y
则
A
dy A
w
D y
z
y
D
dx
w x
Bx
B
C
C
7
B点的挠度为 dx
x
则称为薄板。
我们把平分板厚度的平
面称为中面。
o
x
将坐标原点取于中
面内的一点，x 和y 轴
y
z
在中面内，z 垂直轴向
下，如图所示。
3
当薄板受有一般载荷时，总可以把每一个载荷分解 为两个分量，一个是垂直于中面的横向载荷，另一个是 作用于中面之内的纵向载荷。对于纵向载荷，可认为它 沿薄板厚度均匀分布，按平面应力问题进行计算。本章 只讨论由于横向载荷使薄板弯曲所引起的应力、应变和 位移。

2
2w xy
所以应变分量又可写成
x kxz y kyz
xy kxyz
9
（2）物理方程
不计 z 所引起的应变，物理方程为：
x

1 E
x
y
y

1 E
y
x

xy

21
E
xy
把应力分量用应变分量表示，得：
x
将上列二式对z 进行积分，得：
zx

E
2 1 2

z2

t2 4

x
2
zy

E
2 1 2

z2

t2 4

y
2
再由平衡微分方程第三式，得：
z zx zy
z x y
将 zx , zy 用挠度 表达式代入，并化简得：
每单位宽度之值如下：
dx
16
同理
t
M x
2 t

x
xy

E
1
2
xy
z
上式说明，主要的应力分量 x , y , xy 沿板的厚度线 性分布。
（3）弹性曲面微分方程 在不计体力的情况下，由平衡方程的前二式得：
11
zx x yx
z
x y
zy y xy

z
y x
在薄板横截面上取一微分六面体， dy
其三边的长度分别为 dx, dy,t ,如图所
示。在垂直于x 轴的横截面上，作用着
t 2
正应力 x和剪应力 xy, xz。由于 x 和
t 2

x
在板厚上的总和为零，只能分别合
y
成为弯矩
M
和扭矩
x
M
x
y
；而
x
只能合
z
成横向剪力Qx。
显然，在垂直于x 轴的横截面上，
x
y
于是应变分量用 表示为:
x

u x


2w x2
z
y

v y


2w y 2
z

xy

u y

v x

2
2w xy
z
8
小变形下，由于挠度是微小的，弹性曲面在坐标方向的
曲率可近似地用挠度 表示为:
kx
2w x 2
ky


2w y 2
kxy
z
z
E
21 2

t2 4

z2
4
（1）
13
由于挠度 不随z 变化，且薄板有边界条件:
z z t 0 2
将（1）式对z 积分，得:
z
Et3
6 1 2

1

z
2
1

z
4
2 t t
设在薄板顶面上每单位面积作用的载荷q(包括横向面
xz 0,
yz 0
（3）板面为中性层假设
即
uz0 0, vz0 0
由几何方程得
x z0 0, y z0 0, xy z0 0
（4）应力 z 对变形的影响很小，可以略去不计。亦即认为
z 0
6
第二节 基本方程
按位移求解薄板弯曲问题。取薄板挠度 为基本未知 量，把所有其它物理量都用 来表示。
4
第一节 基本假设
薄板小挠度弯曲问题，通常采用如下假设： （1）板厚不变假设
垂直于中面方向的正应变 z 很小，可以忽略不计。
即 z 0
，由几何方程得

z
0 ，从而有：
x, y
即：在垂直于中面的任一条法线上，各点都具有相同的 挠度。
（2）中面法线保持不变假设
5
在变形前垂直于中面的直线，变形后仍为直线，并垂 直于弯曲后的中面。即

E
1 2
x y
y

1
E

2
y x
xy

E
21
xy
10
将应力分量用挠度 表示，得：
x


1
E

2

2
x 2


2
y 2
z

y

E
1 2

2
y 2


2
x 2
z
1
第十二章 薄板弯曲
概述 第一节 基本假设 第二节 基本方程 第三节 横截面上的内力 第四节 薄板的边界条件 第五节 薄板弯曲的直角坐标求解 第六节 圆形薄板的轴对称弯曲 第七节 变分法求薄板的位移
2
概述
薄板区别于厚板。通常情况下，板的厚度t与板面的 最小尺寸b的比值满足如下条件。
1 ~ 1 ＜ t ＜ 1 ~ 1 80 100 b 5 8