根据初始条件为
( w)t 0 w0 ( x, y ) w v0 ( x, y ) t t 0
可得
Akn C kn B kn
w
k 1 n 1


kx ny (Ckn cosknt sin knt ) sin 零，展开以后，进 行一些简化，最后可得出
thb th b 0 b b
上列方程可以改写为
thb 2 m 2 2 / a 2 b 2 m 2 2 / a 2

th b 2 m 2 2 / a 2 b 2 m 2 2 / a 2
(1) 试求薄板振动的频率，特别是最低频 率。 (2) 设已知薄板的初始条件，即已知初挠 度及初速度，试求薄板在任一瞬时的挠度。 当然，如果求得薄板在任一瞬时的挠度， 就易求得薄板在该瞬时的内力。
设薄板在平衡位置的挠度为we＝we(x，y)，这 时，薄板所受的横向静荷为q＝q(x，y)。按照薄板 的弹性曲面微分方程，我们有：
k 1 k 1
就有可能利用初始条件求得该表达式中的系数Am 及Bm 。 ( w)t 0 w0 ( x, y ) 设初始条件为 w
v0 ( x, y ) t t 0
k 0
则由上式得
A W ( x, y ) w ( x, y )
k 1 k

2 2 k 2 2 k m 2 2 2 a a D 2 2 k 2 2 k m 2 ' 2 2 a a D
从而得振形函数的表达式
kx W (C1 ch y C2 sh y C3 y ch ' y C4 y sh ' y ) sin a
w wk ( Ak cosk t Bk sin k t )Wk ( x, y )
k 1 k 1
在这里，薄板上每一点 ( x，y)的挠度，被表示成为 无数多个简谐振动下的挠度相叠加，而每一个简谐 振动的频率是ωk ，另一方面，薄板在每一瞬时 t的 挠度，则被表示成为无数多种振形下的挠度相叠加， 而每一种振形下的挠度是由振形函数 Wk(x，y)表示 的。
2 D4 ( wt we ) m 2 ( wt we ) t
在以下的分析中，为了简便，我们把薄板的挠 度不从平面位置起，而从平衡位置量起。于是薄板 在任一瞬时的挠度为w＝wt－we，而上式成为
2 w D4 w m t 2
这就是薄板自由振动的微分方程。
现在来试求微分方程的如下形式的解答
2 4 2 2 2
命k及n取不同的整数值，可以求得相应于不同振形 的自然频率
2 2 D k n 2 a 2 b2 m
当薄板以这一频率振动时，振形函数为
k x n y Wkn sin sin a b
而薄板的挠度为
kx ny w ( Akn cos knt Bkn sin knt ) sin sin a b
kn
D kn
当矩形薄板的四边均为简支边时，可以较简 单地得出自由振动的完整解答。
第三节 两对边简支的矩形薄板的
自由振动 取振形函数为
kx W Yk sin a
x
其中 Y k 是待定的 y的函数。 W 可 以满足该两简支边的边界条件。 将其代入振形微分方程
4W 4W 0
y
得出常微分方程
B W ( x, y ) v ( x, y )
k 1 k k k 0
于是可见，为了求得Am及Bm，须将已知的 初挠度w0及初速度v0展为Wm的级数，这在数学处 理上是比较困难的。 因此，只有在特殊简单的情况下，才有可能 求得薄板自由振动的完整解答，即任一瞬时的挠 度。在绝大多数的情况下，只可能求得各种振形 的振形函数及相应的频率。但是，这也就可以解 决工程上的主要问题了。
当k＝2而n＝1时，自然频率为
1 D 2 4 21 2 2 b m a
x
相应的振形函数为
2x y W21 sin sin a b
y
薄板在x方向有两个正弦半波，而在y方向只有一个 正弦半波。对称轴x＝a／2是一根节线(挠度为零的 线，亦即在薄板振动时保持静止的线）。振形如图 所示，图中的有阴线部分及空白部分表示相反方向 的挠度。
( w) y 0 0 ( w) y b 0 2w y 2 0 y 0 w y 0 y b
将W的表达式代入(γ2>k2π2/a2)，得到Cl至 C4的齐次 线性方程组，
C1 C2 0
2C1 2 0 ch bC1 sh bC2 cos b ch bC3 sin b ch bC4 0 sh bC1 ch bC2 sin bC3 cos bC4 0
振型函数应满足边界条件。
不论在哪一种情况下，都可由y＝0及y＝b处 的四个边界条件得出Cl至C4的一组四个齐次线性 方程。 相应于薄板的任何振动，振形函数W必须具 有某一个非零解，因而系数Cl至C4不能都等零。 于是可以命上述齐次线性方程组的系数行列式等 于零，从而得到一个计算自然频率的方程。
例如，设y＝0的一边为简支边，而y＝b的一边为 固支边，则有如下的四个边界条件：
D m
0
求得γ2的实根，即可求得自然频率ω

2
用如上方法求得的最低自然频率，可以表示 成为依赖于边长比值a／b算得的系数k值，并以表 来表示。
这样进行计算，虽然可以求得自然频率的精 确值，但代数运算和数值计算都是比较繁的。因 此，在工程实践中计算矩形板的自振频率，特别 是最低自然频率，不论边界条件如何，都宜用差 分法或能量法。
为了这一条件在薄板中面上的所有各点都能 满足，也就是在x和y取任意值时都能满足，必须 有 2
2 2 k n 4 4 0 a 2 b2
得到
k n a 2 b2
4 4 2 2 2
得出求自然频率的公式
D n D 4 k 2 2 m m a b
上述四个根成为±α及±iβ，而微分方程的解 可写为
Yk C1 chy C2 sh y C3 cosy C4 sin y
从而得振形函数的表达式
W (C1 ch y C2 sh y C3 cos y C4 sin y ) sin
kx a
在少数的情况下，γ2<k2π2/a2，而上面所示 的四个根都是实根，取正实数
第二节 四边简支的矩形薄板的 自由振动 当矩形薄板的四边均为简支边时，可以较简 单地得出自由振动的完整解答。取振形函数为 kx ny
W sin a sin b
其中 k及 n为整数，可以满足边界条件。代入振形 微分方程
4W 4W 0
得到
4 k 2 n 2 2 kx ny 4 sin sin 0 2 2 a b a b
薄板在平行于中面方向的所谓纵向振动，由 于它在工程实际中无关重要，而且在数学上也难 以处理，所以不加讨论。首先来讨论薄板的自由 振动。
单自由度振动的例子
薄板自由振动的一般问题：在一定的横向 荷载作用下处于平衡位置的薄板，受到干扰力 的作用而偏离这一位置，当干扰力被除去以后， 在该平衡位置附近作微幅振动。
k x n y sin a b k 1 n 1 4 a b k x n y Ckn w sin sin d xd y 0 0 0 ab a b 4 a b k x n y Dkn v sin sin d xd y 0 0 0 ab a b v0 Dkn sin
d 4 Yk 2k 2 2 d 2 Yk k 4 4 2 Yk 0 4 2 2 4 dy a dy a
它的特征方程是
2 2 4 4 2 k k 4 2 2 r r 0 2 4 a a
m D
D4 we q
设薄板在振动过程中的任一瞬时 t 的挠度为 w e ＝ we( x， y) ，则薄板每单位面积上在该瞬时所受的 弹性力，将与横向荷载q及惯性力qi成平衡，即
D4wt q qi
注意薄板的加速度是
2 wt t 2
因而每单位面积上的惯性力
2 wt qi m 2 t

2
m W
求得相应的频率ω。自由振动的频率，称为自然频 率或固有频率，完全决定于薄板的固有特性，而 与外来因素无关。 实际上，只有当薄板每单位面积内的振动质 量为常量时，才有可能求得函数形式的解答。这 时，命
2m
D 4
则振形微分方程
4W
2m
D
W 0
简化为常系数微分方程
4W 4W 0
第十五章 薄板的振动问题
第一节 薄板的自由振动 第二节 四边简支板的 自由振动 第三节 两对边简支板的自由振动 第四节 圆形薄板的自由振动
第五节 用差分法求自然频率
第六节 用能量法求自然频率
第七节 薄板的受迫振动
第五章 薄板的振动问题
第一节 薄板的自由振动
关于薄板的振动问题，这里将只讨论薄板在 垂直于中面方向的所谓横向振动，因为这是工程 实际中的重要问题。
而这个代数方程的四个根是
k 2 2 2 a2
k 2 2 2 a2
在大多数的情况下，γ2>k2π2/a2，而上面所示的 四个根是两实两虚，取正实数
2 2 2 2 k m k 2 2 2 a D a 2 2 2 2 k m k 2 2 2 a D a
薄板的总挠度为
w ( Akn cosknt Bkn sin knt ) sin
k 1 n 1
kx ny sin a b