(2)由已知及 可得 曲线 的方程为 由已知及(1)可得 曲线C的方程为 由已知及 可得,曲线 的方程为:
( 作等速直线运动 它在x轴和 作等速直线运动, 轴和y轴方向的 思考题：动点M作等速直线运动 它在 轴和 轴方向的 速度分别为5和 运动开始时位于点P(1,2), 求点 的 求点M的 速度分别为 和12 , 运动开始时位于点 轨迹参数方程。 轨迹参数方程。
垂直高度为y，所以
可以使其准确落在指定位置.
1、参数方程的概念： 、参数方程的概念：
一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的 一般地 在平面直角坐标系中 如果曲线上任意一点的 坐标x, 都是某个变数 都是某个变数t的函数 坐标 y都是某个变数 的函数 x = f (t ), y = g (t ). （2） 并且对于t的每一个允许值 由方程组(2) 的每一个允许值, 并且对于 的每一个允许值 由方程组 所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上 那么方程 就叫做这条曲线的 都在这条曲线上, 都在这条曲线上 那么方程(2) 参数方程, 联系变数x,y的变数 叫做参变数, 简称参数. 的变数t叫做参变数 参数方程 联系变数 的变数 叫做参变数 简称参数 相对于参数方程而言， 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系 的方程叫做普通方程。 的方程叫做普通方程。
y 500
解：物资出舱后，设在时刻t，水平位移为x，
o
x = 100t , (x,y) 1 2 y = 500 − gt .（g=9.8m/s2 ) 2 令y = 0, 得t ≈ 10.10 s. x 代入x = 100t , 得 x ≈ 1010m. 所以，飞行员在离救援点的水平距离约为1010m时投放物资，
1、参数方程的概念： 、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面 高处以100m/s 如图 一架救援飞机在离灾区地面500m高处以 一架救援飞机在离灾区地面 高处以 的速度作水平直线飞行. 的速度作水平直线飞行 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力 不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 区指定的地面 不记空气阻力 飞行员应如何确定投放 时机呢？ 时机呢？
x = 1 + 5t y = 2 + 12 t
小结： 小结：
一般地，在平面直角坐标系中， 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y都是某个变数 的函数 都是某个变数t的函数 ， 都是某个变数
x = f (t ), （2） y = g (t ).
并且对于t的每一个允许值，由方程组（2）所确定的点 并且对于 的每一个允许值，由方程组（ ）所确定的点M(x,y) 的每一个允许值 都在这条曲线上，那么方程（ ）就叫做这条曲线的参数方程 都在这条曲线上，那么方程（2）就叫做这条曲线的参数方程， 参数方程， 联系变数x,y的变数 叫做参变数，简称参数。 的变数t叫做参变数 联系变数 的变数 叫做参变数，简称参数。
变式: 变式 一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线飞行 在离灾 的速度作水平直线飞行.在离灾 一架救援飞机以 的速度作水平直线飞行 区指定目标1000m时投放救援物资（不计空气阻力 重 时投放救援物资（ 区指定目标 时投放救援物资 不计空气阻力,重 问此时飞机的飞行高度约是多少？ 力加速 g=10m/s）问此时飞机的飞行高度约是多少？ 问此时飞机的飞行高度约是多少 精确到1m） （精确到 ）
解：设动点M (x,y) 运动时间为t，依题意，得
x = 1 + 5t 所以，点M的轨迹参数方程为 y = 2 + 12 t
参数方程求法: 参数方程求法 （1）建立直角坐标系 设曲线上任一点 坐标 ）建立直角坐标系, 设曲线上任一点P坐标 （2）选取适当的参数 ） （3）根据已知条件和图形的几何性质 物理意义 ）根据已知条件和图形的几何性质, 物理意义, 建立点P坐标与参数的函数式 建立点 坐标与参数的函数式 （4）证明这个参数方程就是所求的曲线的方程 ）
x = 1 + 2t , (t为参数,a ∈ R ) 2 y = at .
（1）求常数 ）求常数a;
1+2t=5 at2=4 ∴ a=1 x=1+2t y=t2
解得: 解得
a=1 t=2
x −1 由第一个方程得: 由第一个方程得 t = 2 x −1 2 ) , 代入第二个方程得: 代入第二个方程得 y = ( 2
训练1
x =1+t2 1、曲线 轴的交点坐标是( 、 轴的交点坐标是 ,(t为参数） 与x轴的交点坐标是 B ) y = 4t −3
25 A、（ ，4）； 、 , 0); C、(1, −3); 、（1， ）； ( ）；B、 、（ 、 16 25 D、 (± 、 , 0); 16
x = sin θ (θ为参数)表示的曲线上 2、方程{ y = cos 2θ 的一个点的坐标是
x = 3t , 已知曲线C的参数方程是 例1: 已知曲线 的参数方程是 (t为参数) 2 y = 2t + 1.
与曲线C （1）判断点 1(0, 1)，M2(5, 4)与曲线 ）判断点M ， 与曲线 的位置关系； 的位置关系； 在曲线C上 的值。 （2）已知点 3(6, a)在曲线 上, 求a的值。 ）已知点M 在曲线 的值
提示： 提示： 即求飞行员在离救援点的水平距离 多远时，开始投放物资？ 多远时，开始投放物资？
投放点
？
救援点
1、参数方程的概念： 、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面 高处以100m/s 如图 一架救援飞机在离灾区地面500m高处以 一架救援飞机在离灾区地面 高处以 的速度作水平直线飞行. 的速度作水平直线飞行 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力 不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 区指定的地面 不记空气阻力 飞行员应如何确定投放 时机呢？ 时机呢？
(
C
)
1 1 1 1 (2 ( ( A、 ,7) B、 , )，C、 , ), D(1,0) 3 2 2 2
训练2：
已知曲线C的参数方程是 已知曲线 的参数方程是 点M(5,4)在该 曲线上 在该 曲线上. 的普通方程. （2）求曲线 的普通方程 ）求曲线C的普通方程 解: (1)由题意可知 由题意可知: 由题意可知
关于参数几点说明： 参数是联系变数x,y的桥梁 的桥梁, 关于参数几点说明： 参数是联系变数 的桥梁 1. 参数方程中参数可以是有物理意义 几何意义 也可以没有明 参数方程中参数可以是有物理意义, 几何意义, 显意义。 显意义。 2.同一曲线选取参数不同 曲线参数方程形式也不一样 同一曲线选取参数不同, 同一曲线选取参数不同 3.在实际问题中要确定参数的取值范围 在实际问题中要确定参数的取值范围