曲线的参数方程1．参数方程的概念(1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )y ＝g (t )①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．(2)参数的意义：参数是联系变数x ，y 的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．2．参数方程与普通方程的区别与联系(1)区别：普通方程F (x ，y )＝0，直接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有x ，y 两个变量；参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )y ＝g (t )(t 为参数)间接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有三个变量t ，x ，y ，其中x 和y 都是参数t 的函数．(2)联系：普通方程中自变量有一个，而且给定其中任意一个变量的值，可以确定另一个变量的值；参数方程中自变量也只有一个，而且给定参数t 的一个值，就可以求出唯一对应的x ，y 的值．这两种方程之间可以进行互化，通过消去参数可以把参数方程化为普通方程，而通过引入参数，也可把普通方程化为参数方程．1．下列方程中可以看作参数方程的是( )A ．x －y －t ＝0B ．x 2＋y 2－2ax －9＝0C.⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝t 2y ＝2t －1 D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θy ＝cos θ解析：选D.对于A ：虽然含有参数t ，但它表示的是直线系方程，直接给出了x ，y 之间的关系，是普通方程；对于B ：虽然含有参数a ，但它表示的图象方程也是普通方程；对于C ：x 2＝t 2不能把x 表示成参数t 的函数，也不是参数方程，只有D 选项满足参数方程的定义．2．点M (2，y 0)在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t y ＝t 2－1，(t 为参数)上，则y 0＝________．解析：将M (2，y 0)代入参数方程得⎩⎪⎨⎪⎧2＝2t y 0＝t 2－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝1y 0＝0.答案：03．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ，(θ为参数，0≤θ<2π)，判断点A (2，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32是否在曲线C 上？若在曲线上，求出点对应的参数的值．解：将点A (2，0)的坐标代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝1，sin θ＝0.由于0≤θ<2π，解得θ＝0，所以点A (2，0)在曲线C 上，对应θ＝0.将点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32的坐标代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝2cos θ，32＝3sin θ，即⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝－32，sin θ＝12.由于0≤θ<2π， 解得θ＝5π6，所以点B ⎝⎛⎭⎪⎫－3，32在曲线C 上，对应θ＝5π6.参数方程的概念已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t y ＝2t 2＋1，(t 为参数)．(1)判断点M 1(0，1)，M 2(5，4)与曲线C 的位置关系； (2)已知点M 3(6，a )在曲线C 上，求a 的值．[解] (1)把点M 1的坐标(0，1)代入方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝3t ，1＝2t 2＋1. 解得：t ＝0.所以点M 1在曲线C 上． 同理：可知点M 2不在曲线C 上．(2)因为点M 3(6，a )在曲线C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧6＝3t ，a ＝2t 2＋1. 解得：t ＝2，a ＝9.所以a ＝9.(1)满足某种约束条件的动点的轨迹形成曲线，点与曲线的位置关系有两种：点在曲线上和点不在曲线上．(2)对于曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )y ＝g (t )，(t 为参数)，若点M (x 1，y 1)在曲线上，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f (t )y 1＝g (t )对应的参数t 有解，否则参数t 不存在．1.曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＝t －2，(t 为参数)与y 轴的交点坐标是____________．解析：令x ＝0，即t ＝0得y ＝－2，所以曲线C 与y 轴的交点坐标是(0，－2)． 答案：(0，－2)2．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2＋1y ＝2t ，(t 为参数)．(1)判断点A (1，0)，B (5，4)，E (3，2)与曲线C 的位置关系； (2)若点F (10，a )在曲线C 上，求实数a 的值． 解：(1)把点A (1，0)的坐标代入方程组，解得t ＝0， 所以点A (1，0)在曲线上．把点B (5，4)的坐标代入方程组，解得t ＝2， 所以点B (5，4)也在曲线上． 把点E (3，2)的坐标代入方程组，得到⎩⎪⎨⎪⎧3＝t 2＋1，2＝2t ，即⎩⎨⎧t ＝±2，t ＝1.故t 不存在，所以点E 不在曲线上．(2)令10＝t 2＋1，解得t ＝±3，故a ＝2t ＝±6.求曲线的参数方程如图，△ABP 是等腰直角三角形，∠B 是直角，腰长为a ，顶点B 、A 分别在x 轴、y 轴上滑动，求点P 在第一象限的轨迹的参数方程．[解] 法一：设P 点的坐标为(x ，y )，过P 点作x 轴的垂线交x 轴于Q .如图所示，则Rt △OAB ≌Rt △QBP . 取OB ＝t ，t 为参数，(0<t <a )． 因为|OA |＝a 2－t 2， 所以|BQ |＝a 2－t 2.所以点P 在第一象限的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ＋a 2－t 2y ＝t，(t 为参数，0<t <a )． 法二：设点P 的坐标为(x ，y )，过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点Q ，如图所示．取∠QBP ＝θ，θ为参数(0<θ<π2)，则∠ABO ＝π2－θ. 在Rt △OAB 中，|OB |＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝a sin θ. 在Rt △QBP 中，|BQ |＝a cos θ，|PQ |＝a sin θ. 所以点P 在第一象限的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a (sin θ＋cos θ)，y ＝a sin θ.(θ为参数，0<θ<π2)．求曲线参数方程的主要步骤第一步，画出轨迹草图，设M (x ，y )是轨迹上任意一点的坐标．画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系．第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x ，y 与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x ，y 的值可以由参数唯一确定．例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点“有向距离”、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略．设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆作匀角速度运动，角速度为π60rad/s ，试以时间t 为参数，建立质点运动轨迹的参数方程．解：如图，运动开始时质点位于点A 处，此时t ＝0，设动点M (x ，y )对应时刻t ，由图可知：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，又θ＝π60·t ，故参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π60t ，y ＝2sin π60t .(t 为参数)．1．对参数方程概念的理解(1)曲线的参数方程中含有三个变量，并且以方程组的形式出现，其中x ，y 表示点的坐标，参数t 为中间变量，起着间接联系x ，y 桥梁的作用．(2)参数方程中，x ，y 都是关于参数t 的函数．反之，如果x ，y 虽然都能用t 表示，但不都能表示成t 的函数，它就不是参数方程．(3)曲线上任一点与满足参数方程的有序数对(x ，y )是一一对应关系．从数学的角度看，曲线上的任一点M 的坐标(x ，y )由t 唯一确定．当t 在允许值范围内连续变化时，x ，y 的值也随之连续地变化，于是就可以连续地描绘出点的轨迹．(4)在表达参数方程时，必须指明参数的取值范围，参数的取值范围不同，所表示的曲线可能不同．2．求曲线的参数方程(1)曲线的参数方程不是唯一的．同一条曲线由于所选取的参数不同，其参数方程的形式往往也不同．反之，形式不同的参数方程它们表示的曲线可以是相同的．(2)求曲线的参数方程，关键是选取参数．通常要结合实际问题和曲线形状选取时间、线段长度、方位角、旋转角等具有明确的物理意义或几何意义的量为参数，这样做有利于应用参数方程解决问题，当然也可以任意选取一个没有明确的实际意义的量为参数．(3)引入参数的同时，必须明确参数的取值范围．1．下列方程可以作为x 轴的参数方程的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2＋1y ＝0 B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝3t ＋1 C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θy ＝0 D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t ＋1y ＝0 解析：选D.选项A 表示x 轴上以(1，0)为端点向右的射线；选项B 表示的是y 轴；选项C 表示x 轴上以(0，0)和(2，0)为端点的线段；只有选项D 可以作为x 轴的参数方程．2．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θy ＝sin 2θ，(θ为参数)所表示曲线经过下列点中的( )A ．(1，1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋32，－12解析：选C.当θ＝π6时，x ＝32，y ＝32，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32在方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θy ＝sin 2θ，(θ为参数)所表示的曲线上．3．已知点M (2，－2)在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t y ＝－2，(t 为参数)上，则其对应的参数t 的值为________．解析：由t ＋1t＝2解得t ＝1.答案：14．已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2ty ＝3t 2－1(t 为参数)． (1)判断点M 1(0，－1)，M 2(4，10)与曲线C 的位置关系； (2)已知点M (2，a )在曲线C 上，求a 的值．解：(1)把点M 1(0，－1)的坐标代入参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝3t 2－1，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝2t－1＝3t 2－1，所以t ＝0. 即点M 1(0，－1)在曲线C 上．把点M 2(4，10)的坐标代入参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝3t 2－1，得⎩⎪⎨⎪⎧4＝2t10＝3t 2－1，方程组无解． 即点M 2(4，10)不在曲线C 上． (2)因为点M (2，a )在曲线C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝2t ，a ＝3t 2－1. 所以t ＝1，a ＝3×12－1＝2. 即a 的值为2.[A 基础达标]1．已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝5sin θ(0≤θ<2π)，则参数θ＝5π3所对应的点P 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－532B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫52，532C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－532，52D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫532，52解析：选A.θ＝5π3时，x ＝5×cos 5π3＝52，y ＝5×sin 5π3＝－532，得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－532，故选A.2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数)表示的曲线是( )A ．直线B ．线段C ．圆D ．半圆解析：选C.因为sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以普通方程为x 2＋y 2＝1.故选C.3．若点P (4，a )在曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t(t 为参数)上，则a 等于( )A ．4B ．4 2C ．8D ．1解析：选B.根据题意，将点P 的坐标代入曲线方程中得⎩⎪⎨⎪⎧4＝t 2，a ＝2t⇒⎩⎨⎧t ＝8，a ＝4 2.故选B.4．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最小值是( )A ．4B ．25C ．36D ．6解析：选A.因为(x －5)2＋(y ＋4)2＝(cos θ－3)2＋(sin θ＋4)2＝26＋10sin(θ－φ)(且tan φ＝34)．所以当sin(θ－φ)＝－1时，有最小值4，故选A.5．由方程x 2＋y 2－4tx －2ty ＋3t 2－4＝0(t 为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t y ＝t B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2ty ＝tC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t y ＝－tD ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2t y ＝－t解析：选A.设(x ，y )为所求轨迹上任一点．由x 2＋y 2－4tx －2ty ＋3t 2－4＝0得：(x －2t )2＋(y －t )2＝4＋2t 2.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t y ＝t.6．若x ＝t －1(t 为参数)，则直线x ＋y －1＝0的参数方程是____________． 解析：将x ＝t －1代入x ＋y －1＝0得y ＝2－t ，所以直线x ＋y －1＝0的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1y ＝2－t ，(t 为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1y ＝2－t ，(t 为参数)7．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin θ＋1，y ＝sin θ＋3(θ为参数，0≤θ<2π)．下列各点A (1，3)，B (2，2)，C (－3，5)，其中在曲线上的点是________．解析：将A 点坐标代入方程得：θ＝0或π，将B 、C 点坐标代入方程，方程无解，故A 点在曲线上．答案：A (1，3)8．下列各参数方程与方程xy ＝1表示相同曲线的序号是________．①⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2y ＝－t 2；②⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin ty ＝1sin t ；③⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t y ＝1cos t ；④⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t y ＝1tan t.解析：普通方程中，x ，y 均为不等于0的实数，而①②③中x 的取值依次为：[0，＋∞)，[－1，1]，[－1，1]，故①②③均不正确；而④中，x ∈R ，y ∈R ，且xy ＝1，故④正确．答案：④9．已知动圆x 2＋y 2－2ax cos θ－2by sin θ＝0(a ，b 是正常数，且a ≠b ，θ为参数)，求圆心的轨迹方程．解：设P (x ，y )为所求轨迹上任一点． 由x 2＋y 2－2ax cos θ－2by sin θ＝0得：(x －a cos θ)2＋(y －b sin θ)2＝a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ.这就是所求的轨迹方程．10.如图所示，OA 是圆C 的直径，且OA ＝2a ，射线OB 与圆交于Q 点，和经过A 点的切线交于B 点，作PQ ⊥OA 交OA 于D ，PB ∥OA ，试求点P 的轨迹的参数方程．解：设P (x ，y )是轨迹上任意一点，取∠DOQ ＝θ， 由PQ ⊥OA ，PB ∥OA ，得x ＝OD ＝OQ cos θ＝OA cos 2θ＝2a cos 2θ， y ＝AB ＝OA tan θ＝2a tan θ.所以点P 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a cos 2θy ＝2a tan θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.[B 能力提升]11．已知圆的普通方程x 2＋y 2＋2x －6y ＋9＝0，则它的参数方程为____________． 解析：由x 2＋y 2＋2x －6y ＋9＝0，得(x ＋1)2＋(y －3)2＝1.令x ＋1＝cos θ，y －3＝sin θ，所以参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θy ＝3＋sin θ，(θ为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θy ＝3＋sin θ，(θ为参数)(注答案不唯一)12．动点M 作匀速直线运动，它在x 轴和y 轴方向的分速度分别为9和12，运动开始时，点M 位于A (1，1)，则点M 的参数方程为____________．解析：设M (x ，y )，则在x 轴上的位移为x ＝1＋9t ，在y 轴上的位移为y ＝1＋12t .所以参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋9t ，y ＝1＋12t (t 为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋9t y ＝1＋12t(t 为参数)13．在参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )y ＝g (t )(t 为参数，且t ∈R)中，若f (t )和g (t )都是奇函数，请判断该曲线所对应函数的奇偶性．解：设(x ，y )是参数方程曲线上的任意一点，则存在参数t 使得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )y ＝g (t )，所以－x ＝－f (t )，－y ＝－g (t )． 又f (t )、g (t )均为奇函数， 所以－x ＝f (－t )，－y ＝g (－t )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x ＝f (－t )－y ＝g (－t )，即点(－x ，－y )也在曲线上，所以该曲线的图象关于原点对称． 所以该曲线对应的函数为奇函数．14．(选做题)试确定过M (0，1)作椭圆x 2＋y 24＝1的弦的中点的轨迹的参数方程．解：设过M (0，1)的弦所在的直线方程为y ＝kx ＋1，其与椭圆的交点为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)．设中点P (x ，y )，则有x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋y 24＝1得：(k 2＋4)y 2－8y ＋4－4k 2＝0.所以y 1＋y 2＝8k 2＋4，x 1＋x 2＝－2kk 2＋4. 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－k k 2＋4，y ＝4k 2＋4.这就是以动弦斜率k 为参数的动弦中点的轨迹的参数方程．。