y2 x2 D. 9 － 4 ＝ 1
解析：设交点为 P( x， y) ，A1( －3,0) ，A2(3,0) ，P1( x0， y0) ， P2( x0，－ y0) ，
y－y0 y
∵A1，
P1，P
共线，∴
x
－
x
＝
0
x
＋
3.
①
y＋y0 y
∵A2，
P2，P
共线，∴
x
－
x
＝
0
x
－
3.
②
9
3y
由①②解得 x0＝x，y0＝ x ，
∵△ AMN是锐角三角形，
∴xN＝ | ME| ＋ | EN|
＝| ME| ＋ | AN| 2－ | AE| 2＝4，
xB＝| BF| ＝| BN| ＝6.
设 P( x，y) 是曲线段 C上任一点，
则 P∈ {( x，y)|( x－xN) 2＋ y2＝x2，xA≤ x≤ xB，y>0} ．
∴曲线段 C 的方程为 y2＝8( x－2)(3 ≤ x≤6， y>0) ．
20k2＝20k2－ 4，而
20k2＝20k2－4 不可能成立，所以不存
1－ 5k2＋4
在直线 l ，使得 | BP| ＝| BQ|.
[B 组 因材施教·备选练习 ]
1．已知点 M( －3,0) ，N(3,0) ，B(1,0) ，动圆 C与直线 MN切于点 B，过 M、 N与圆 C相切的两直
线相交于点 P，则 P 点的轨迹方程为 (
3x－ 4y＋5＝0 或 x＝1.
→
→→→
(3) 设 Q点的坐标为 ( x，y) ，M点坐标是 ( x0，y0) ，ON＝(0 ，y0) ，∵OQ＝ OM＋ ON，∴( x，y) ＝( x0,2y0)
?
x＝ x0，y＝2y0. ∵ x20＋y20＝4，∴ x2＋
y 2
2＝4，
x2 y2 即 4＋ 16＝1.
个焦点 F 的轨迹方程是 ( )
A．
y
2－
x2 48＝
1(
y
≤－
1)
C．
x
2－
y2 48＝
1(
x
≤－
1)
B．
y2
－
x2 48＝
1(
y
≥
1)
D．
x2
－
y2 48＝
1
(
x
≥
1)
解析：由题意知 | AC| ＝13， | BC| ＝ 15，| AB| ＝14， 又∵ | AF| ＋ | AC| ＝ | BF| ＋| BC| ，
50k2
x1＋ x2 25k2
则 x1＋x2＝5k2＋4，x0＝ 2 ＝5k2＋4.
∴y0＝ k( x0－5) ＝k
25k2 5k2＋4－5
－ 20k2 ＝5k2＋4.
又| BP| ＝| BQ| ? BR⊥l ? k· kBR＝－ 1，
20k
k·kBR＝ k·
5k2＋ 4 25k2
20k2 ＝4－20k2＝－ 1?
x2 y2 ∴Q点的轨迹方程是 ＋ ＝1，轨迹是一个焦点在 y 轴上的椭圆．
4 16
→ 12．( 能力提升 )(2014 年恩施模拟 ) 在直角坐标平面上， O为原点，M为动点，| OM| ＝
→ 5，ON＝
2
5
5
→
→→ →
OM. 过点 M作 MM1⊥y 轴于点 M1，过 N作 NN1⊥x 轴于点 N1，OT＝M1M＋N1N. 记点 T 的轨迹为曲线 C，点 A(5,0) 、
→ 2 5→ 2 5
25
25
25
ON＝ 5 OM＝ 5 ( x′，y′) ，于是点 N 的坐标为 5 x′， 5 y′ ，N1 的坐标为 5 x′， 0 ，
→
→
25
所以 M1M＝ ( x′， 0) ，N1N＝ 0， 5 y′ .
x＝x′，
→→ → 由OT＝M1M＋N1N，有 ( x，y) ＝( x′， 0) ＋
x －
2
y －
2
2
2
则有 a2 ＋ b2 ＝1，
x2 y2 即4a2＋4b2＝1.
x2 y2 答案： 4a2＋4b2＝1
9．已知真命题：若 A 为⊙ O内一定点， B 为⊙ O上一动点，线段 AB的垂直平分线交直线 OB于点
P，则点 P 的轨迹是以 O，A 为焦点， OB长为长轴长的椭圆．类比此命题，写出另一个真命题：若 A
11．已知圆
C 的方程为
x
2
＋
y2＝
4.
(1) 求过点 P(1,2) 且与圆 C相切的直线 l 的方程；
(2) 直线 l 过点 P(1,2) ，且与圆 C交于 A、B 两点，若 | AB| ＝2 3，求直线 l 的方程；
→
→→→
(3) 圆 C 上有一动点 M( x0，y0) ，ON＝ (0 ，y0) ，若向量 OQ＝OM＋ON，求动点 Q的轨迹方程，并说明
A．
x
2－
y2 8＝
1(
x
>1)
)
B．
x2
－
y2 8＝
1(
x
<－
1)
C．
x
2＋
y2 8＝
1(
x
>0)
D．
x2
－
y2 10＝
1(
x
>1)
解析：如图所示， 设直线 MP与直线 NP分别与动圆 C 切于点 E、F，则| PE| ＝| PF| ，| ME| ＝ | MB| ，
3 x－2
2＋y2＝1.
答案： A x2 y2
6．设 A1，A2 是椭圆 9 ＋ 4＝ 1 的长轴两个端点， P1， P2 是垂直于 A1A2 的弦的端点，则直线 A1P1 与
A2P2 交点的轨迹方程为 (
)
x2 y2 A. 9＋ 4 ＝1
x2 y2 C. 9－ 4 ＝1
y2 x2 B. 9 ＋ 4 ＝ 1
直线 l 的斜率存在，并设为 k，直线 l 的方程为 y＝k( x－5) ．
由方程组
x2 y2 5 ＋ 4 ＝1， y＝k x－5
得(5 k2＋4) x2－50k2x＋ 125k2－20＝ 0.
依题意知 Δ＝ 20(16 － 80k2)>0 ，
55 得－ 5 <k< 5 .
55 当－ 5 <k< 5 时，设交点 P( x1，y1) ，Q( x2，y2) ，PQ的中点为 R( x0， y0) ，
B(1,0) ，过点 A 作直线 l 交曲线 C 于两个不同的点 P、 Q( 点 Q在 A 与 P 之间 ) ．
(1) 求曲线 C 的方程；
(2) 是否存在直线 l ，使得 | BP| ＝ | BQ| ，并说明理由． 解析： (1) 设点 T 的坐标为 ( x， y) ，点 M的坐标为 ( x′， y′) ，则 M1 的坐标为 (0 ， y′) ，
此轨迹是什么曲线．
|2 －k|
解析： (1) 显然直线 l 的斜率存在，设 切线方程为 y－2＝k( x－1) ，则由
k
2＋
＝ 1
2，得
k1＝ 0，
4 k2＝－ 3，从而所求的切线方程为 y＝2 和 4x＋ 3y－10＝0.
(2) 当直线 l 垂直于 x 轴时，此时直线方程为 x＝ 1，l 与圆的两个交点坐标为 (1 ， 3) 和 (1 ，－ 3) ，
A．2x＋ y＋ 1＝ 0
B． 2x－y－5＝0
C．2x－ y－ 1＝ 0
D． 2x－y＋5＝0
解析：设 Q( x，y) ，则 P 为( －2－x, 4－ y) ，代入 2x－y＋3＝ 0 得 2x－y＋5＝0.
答案： D 3．已知 A(0,7) ，B(0 ，－ 7) ，C(12,2) ，以 C 为一个焦点的椭圆经过 A， B 两点，则椭圆的另一
→→ → 有一动点 Q满足 OQ＝PF1＋PF2，则动点 Q的轨迹方程是 ________．
→→ → 解析：由 OQ＝PF1＋PF2，
→→→ 又PF1＋PF2＝PM＝
→
→
2PO＝－ 2OP，
设 Q( x，y) ，
→ 1→
则OP＝－
OQ 2
xy ＝ －2，－ 2 ，
xy 即 P 点坐标为 － 2，－ 2 ，又 P 在椭圆上，
25 0， 5 y′
，所以
25 y＝ 5 y′
.
5 由此得 x′＝ x， y′＝ 2 y.
→ 由| OM| ＝
5，得 x′２＋ y′２＝ 5，所以 x2＋
25y
2
＝
5，得
x2 5＋
y2 4＝
1，即所求的方程表示的曲线
C是
椭圆．
(2) 点 A(5,0) 在曲线 C即椭圆的外部，当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 与椭圆 C无交点，所以
解析：设 P( x，y) ，R( x0，y0) ，
→
→
则有 RA＝(1 －x0，－ y0) ，AP＝( x－ 1， y) ．
→→ 又RA＝2AP，
1－x0＝2 x－1 ， ∴
－y0＝ 2y.
x0＝－ 2x＋3， ∴
y0＝－ 2y.
又
R( x0，y0) 在圆
x
2
＋
y
2
＝
4
上，
∴( －2x＋3) 2＋( －2y) 2＝4，即
这两点的距离为 2 3，满足题意；当直线 l 不垂直于 x 轴时，设其方程为 y－ 2＝ k( x－1) ，
即 kx－y－k＋2＝0，设圆心到此直线的距离为 d( d>0) ，则 2 3＝2 4－d2，得 d＝ 1，从而 1＝
| －k＋2|