第六章 方差分析与正交试验设计在生产实践和科学研究中，经常要分析各种因素对试验指标是否有显著的影响。
例如，工业生产中，需要研究各种不同的配料方案对生产出的产品的质量有无显著差异，从中筛选出较好的原料配方；农业生产中，为了提高农作物的产量，需要考察不同的种子、不同数量的肥料对农作物产量的影响，并从中确定最适宜该地区种植的农作物品种和施肥数量。
要解决诸如上述问题，一方面需要设计一个试验，使其充分反映各因素的作用，并力求试验次数尽可能少，以便节省各种资源和成本；另一方面就是要对试验结果数据进行合理的分析，以便确定各因素对试验指标的影响程度。
§6.1 单因素方差分析仅考虑一个因素A 对试验指标有无显著影响，可以让A 取r 个水平：r A A A ,,,21 ，在水平i A 下进行i n 次试验，称为单因素试验，试验结果观测数据ij x 列于下表：并设在水平i A 下的数据i in i i x x x ,,21来自总体),(~2i i N X ，),,2,1(r i 。
检验如下假设：r H 210:， r H ,,,:211 不全相等 检验统计量为),1(~)/()1/(r n r F r n S r S F e A其中21211)()(x x n x x S iri i ri n j i A i，称为组间差平方和。
211)(i ri n j ije x xS i，称为组内差平方和。
这里 ri i n n 1，in j ij i i x n x 11， r i n j ij ix n x 111。
对于给定的显著性水平)05.001.0(或 ，如果),1(r n r F F ，则拒绝0H ，即认为因素A 对试验指标有显著影响。
实际计算时，可事先对原始数据作如下处理：ba x x ij ij再进行计算，不会影响F 值的大小。
例1试分析三种不同的菌型对小白鼠的平均存活日数影响是否显著？ 解：30,11,9,10,3321 n n n n r 16.6,27.7,22.7,4321 x x x x 43.70)()(21211x x n x xS i ri i r i n j iA i，74.137)(211i ri n j ije x xS i49.5)27,2(90.601.0 F F ，说明三种不同菌型的伤寒病菌对小白鼠的平均存活日数的影响高度显著。
§6.2 双因素方差分析同时考察两个因素A 和B 对试验指标有无显著影响，可以让A 取r 个水平：r A A A ,,,21 ，让B 取s 个水平：s B B B ,,,21 ，在各种水平配合),(j i B A 下进行试验，称为双因素试验。
一、无交互作用的双因素方差分析在每一种水平配合),(j i B A 下作一次试验，称为无交互作用的双因素试验，试验结果观测数据ij x 列于下表：并设在水平配合),(j i B A 下的数据ij x 来自总体),(~2 ij ij N X ，),,2,1;,,2,1(s j r i 。
检验如下假设：••• r A H 210:， •••r A H ,,,:211 不全相等 r B H ••• 210:， r B H ••• ,,,:211 不全相等 分别用如下检验统计量))1)(1(,1(~)1)(1/()1/(s r r F s r S r S F e A A))1)(1(,1(~)1)(1/()1/(s r s F s r S s S F e B B其中21211)()(x x s x xS i ri r i sj i A• •，称为A 的组间差平方和。
21211)()(x x r x xS j sj ri s j jB• • ，称为B 的组间差平方和。
211)(x x x xS j i ri sj ije•• ，称为组内差平方和。
这里 • s j ij i x s x 11， • ri ij j x r x 11， r i s j ij x rs x 111。
对于给定的显著性水平)05.001.0(或 ，如果))1)(1(,1( s r r F F A ，则拒绝A H 0，即认为因素A 对试验指标有显著影响；如果))1)(1(,1( s r s F F B ，则拒绝B H 0，即认为因素B 对试验指标有显著影响。
实际计算时，可事先对原始数据作如下处理：ba x x ij ij再进行计算，不会影响B A F F ,值的大小。
例1 为了解三种不同配比的饲料对仔猪生长影响的差异，对3种不同品种的仔猪各选3头进行试验，分别测得其一段时间体重增加量，如下表所示（A 代表饲料，B 代表品种）：解：所有数据减去50后计算结果如下：3,3 s r33.2,3,66.0321 •••x x x 2,3,7,2321 •••x x x x 33.3,150,66.8 e B A S S S94.6)4,2(20.505.0 F F A ，说明不同饲料对仔猪的生长无显著影响。
0.18)4,2(0.9001.0 F F B ，说明品种的差异对仔猪生长的影响高度显著。
二、有交互作用的双因素方差分析在每一种水平配合),(j i B A 下重复作)2( m m 次试验，称为有交互作用的双因素试验，试验结果观测数据ijk x 列于下表：并设在水平配合),(j i B A 下的数据ijm ij ij x x x ,,,21 来自总体),(~2 ij ij N X ，),,2,1;,,2,1(s j r i 。
检验如下假设：••• r A H 210:， •••r A H ,,,:211 不全相等 r B H ••• 210:， r B H ••• ,,,:211 不全相等 ij AB H :0全相等， ij AB H :1不全相等 分别用如下检验统计量))1(,1(~)1(/)1/(m rs r F m rs S r S F e A A))1(,1(~)1(/)1/(m rs s F m rs S s S F e B B))1(),1)(1((~)1(/)1)(1/(m rs s r F m rs S s r S F e AB AB其中212111)()(x x m s x x S i ri r i s j i mk A• •，称为A 的组间差平方和。
212111)()(x x rm x x S j sj ri sj j mk B• •，称为B 的组间差平方和。
2111)(x x x x S j i ri sj ij mk AB••211)(x x x x m j i r i sj ij •• ，称为B A 的组间差平方和。
2111)(ij ri sj ijk mk e x x S ，称为组内差平方和。
这里 • s j ijk m k i x sm x 111， • r i ijk m k j x rm x 111， mk ijk ij x m x 11， r i s j ijk mk x rsm x 1111。
对于给定的显著性水平)05.001.0(或 ，如果))1(,1( m rs r F F A ，则拒绝A H 0，即认为因素A 对试验指标有显著影响；如果))1(,1( m rs s F F B ，则拒绝B H 0，即认为因素B 对试验指标有显著影响；如果))1(),1)(1(( m rs s r F F AB ，则拒绝AB H 0，即认为因素A 与因素B 之间的交互效应对试验指标有显著影响。
实际计算时，可事先对原始数据作如下处理：ba x x ijk ijk再进行计算，不会影响AB B A F F F ,,值的大小。
例2 考察合成纤维弹性影响因素为拉伸倍数A 与收缩率B 。
A 与B 各取4个水平，每个水平配合下做2次试验，结果数据见下表：试分析因素、因素对合成纤维弹性的影响是否显著？以及因素与因素之间的交互效应对合成纤维弹性的影响是否显著？ 解： 2,4,4 m s r50.21,20.80,66.69,86.8 e AB B A S S S S24.3)16,3(95.205.0 F F A ，说明拉伸倍数A 对合成纤维弹性无显著影响。
29.5)16,3(22.2301.0 F F B ，说明收缩率B 对合成纤维弹性的影响高度显著。
78.3)16,9(91.801.0 F F AB ，说明因素A 与因素B 之间的交互效应对合成纤维弹性的影响高度显著。
§6.3 正交试验设计前面介绍了单因素与双因素试验的方差分析，但是在实际问题中遇到的因素往往超过两个，需要考察各个因素对试验结果是否有显著影响。
从理论上讲可以导出多因素的方差分析法，但是一来公式会变得很复杂，二来总试验次数也要明显增多。
例如，考虑7个因素的试验，每个因素有6个水平，若在每一种组合水平上都做一次试验，需要做27993667次试验，这是根本不可能的！ 为了减少试验次数，希望在所有组合水平中挑选一部分出来，在这些组合水平上做试验，即局部地进行试验。
正交试验设计是利用一套现成的规格化的表—正交表，科学地安排试验和分析试验结果的一种数理统计方法，该方法的主要优点是能在很多试验条件中选出代表性强的少数试验方案，同时通过对这少数试验方案的结果进行分析，从中找出最优方案。
正交表1944年起源于美国。
第二次世界大战后在日本开发了使用正交表进行试验设计的技术体系，并在日本全国进行大力普及推广、应用，取得了显著的经济效益。
实践证明，正交设计是促进生产率提高的一种有效手段，目前已经广泛应用于科学研究、产品设计、工艺改革等技术领域以及经营、计划等管理领域。
一、正交表正交表记为)(mn r L ，表示至多安排m 个因素，每个因素有r 种水平，共作n 次试验的正交表。
下面就是两个常用的正交表)3(49L ，)2(78L 。
)3(49L )2(78LL —正交表符号；n —试验次数（正交表的行数）； r —水平数；m —因素个数（正交表的列数）。
从上面两个正交表容易看出它们具有如下性质：（1）表中任何一列所含不同的数字出现的次数相同。
如表)3(49L 每一列有三个不同的数字“1”、“2”、“3”，它们各出现3次。
（2）将表中任意两列同一行的两个数字看成有序数对，每种数对出现的次数相同。
如表)3(49L 的有序数对为（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）共9个，它们各出现一次。
以上性质说明正交表中各因素的水平搭配均衡，并可大大减少试验次数。
二、无交互作用的正交设计及其结果的直观分析 1、如何用正交表安排试验 下面用一个实例来说明。
例1 某化工厂进行合成氨试验，需要设计寻找最优生产条件的试验方案。