以及若
d1(x,y) min( d(x,y),1) 0或d2(x,y)
均有d(x,y)0成立，于是x y成立
2)d(y,x) d(x,y)，
因此d1(y,x) min(d(y,x),1) min( d(x,y),1) d1(x, y)和d2(y,x)d(y,x) d(x, y)d2(x,y)
21 d(y,x) 1 d(x, y)2
若R是赋范空间，d(x,0) ||x|| |x|p，所以x,k R，必须有：||kx|||k|||x||成立，即|kx|p|k ||x|p，p1， 当p1时，若R是度量空间，p1时，若R是赋范空间。
2．若( X , d)是度量空间，则d1min( d ,1)，d2d也是使X成为度量空间。
1 21 d
映射
T:
c*0l1,
f
(f(e1), f(e2), ,
f (en),
) (1,2, ,n, )
使得
x
(x1, x2, ,xn,
) c0，
有f ( x)xi i成立
i1
则T线性保距同构映射，因此c*0l1
9．设H是Hilbert空间，xn是H中正交集，则以下三条等价；
1)xn收敛，2)y H，(xn,y)收敛，3)||xn||2收敛
1取S1O(0, ) X，则T在S1上无界，因此x1S1，
使得||Tx1||1成立。
1
取S2O(0,2) X，则T在S2上无界，因此x2S2，
22
使得||Tx2||2成立。
类似地过程一直进行，直到
1
取SnO(0,n) X，则T在Sn上无界，因此xnSn，2n
使得||Txn||n成立。
因此，xnX，使得xn0，但||Txn||
(|xk|2)2
0(n)
k n 1
另外，对每个固定的n，我们都可以找到一个元素n1
2
en 1(0,0, ,0,1,0, ) l2，
有||en 1||1，但Ten 1Tnen 1en 1，
||Ten 1Tnen 1|| ||en 1||1
因此||TnT||1，
n，故||TnT||0不成立。
7．设X,Y是线性赋范空间，
3)d(x,z) d(x,y) d(y,z)，因此
d1(x,z) min( d(x,z),1) min{ d(x, y) d(y,z),1}
min( d(x, y),1) min( d ( y, z),1) d1(x,y) d1(y,z)
x1
以及设f(x)，f (x)20，所以f (x)单增，
1 x(1 x )
求||T||?
解：由于(n)有界，所以有M0，使得M sup|n|
n
对于x (x1,x2, ) lp，||x||pp|xi|p，
i1
从而|xi|pp
i n 1
||Tx ||pp|ixi|pMp|xi|pMp||x||pp
i1 i 1
||Tx||M||x||，从而||T|| M另外，有(n)有界序列，设M sup|n|，
再证反向不等式。对x (x1,x2, , xn, ) c0，
对每个(1,2, ,n, ) l1
定义f(x)xi i，则f是c0上的线性泛函，且有
i1
|f (x)|
|xi i|sup|x
i 1 i
i||
i1
i| ||x|||| ||
所以
f
c0*，且||f|| ||
||。综合两个不等式得||f|| || ||
i
F {en|en(0,0, ,0,1,0, ),n 1,2,}
n
n则对x (x1,x2, ,xn, ) c0，有x limxiei
n
i1
设f
c0，记i
f (ei),i 1,2,，所以有
n
n
f(x)
f ( lim xi
ei) lim f( xiei)
ni 1
ni 1
n
n
lim
xif (ei)
limxi ixi i
不成立。
试考虑算子序列Tn: l2l2，
Tn(x1, x2,
,xn,xn 1,
)
(x1,x2,
,xn,0, )。
解：
x (xn)
l2，
||x|| (|
1
xn|2)2，
1
n1
所以(
|xn|2)2
0(n0
)
n n0
取Tx
x，Tx
Tn
x ( 0,0,
,0,xn 1,xn 2,
)
我们有
||Tnx Tx
||
1
y，故知yn有界，x H所以||x||有限。因此可取
M sup(|| x||,||yn||)1n
因此|(xn, yn) (x,y)||(xn,yn) (x,yn) (x, yn) (x, y)|
|(xn,yn) (x,yn)| |(x,yn) (x,y)| |(xnx,yn)| |(x,yny)|
||xnxny|| 2M
综上所述d1min( d,1)和d2d均满足度量空间的三条件，
1d
故d1(x, y)和d2(x, y)均使X成为度量空间。
3．设H是内积空间，xn,x, yn, y H，则当xnx，yny时，(xn, yn)(x,y)，
连续。
解：H是内积空间，设|| ||是由其内积导出的范数，由于xnx，yny，
所以0，n0使得当n n0时均有||xnx||和||yny||
取x(n)(ei 1,ei 2, ,ei n,0,)，其中iargi则x(n)c0
nn
且||x(n)|| 1，f(x(n))ei ii|i|，所以
i 1 i 1
n
|i| |f (x(n))|||f||||x(n)|| ||f||
i1
令n，即得(1,2, ,n, ) l1，
且|| || |i| ||f||i1
T:X
Y是线性算子，则
G(T)闭，当且仅当xnX，使得xn
0，
ynTxny时，有y0。
解：G(T)闭，
即有
xn
X，
xn
0
，则y
T0
0 Y，使得ynTxn
y0
另外，当xn
X，
xn
0，
使得
yn
Txn
0
因此对于xn
X，
xn
x
X，
取
znxn
x
X，
有znxnx 0，
解：c0是所有极限为0的序列全体的集合，范数||x|| sup|xi|
n
则对0，有n0，使得|n0|M 0
可取x(n)(0,0, ,sngan0, ) lp，所以||x(n)|| 1
n
( n) p||Tx||p
|ixi
i1
|p|n0|p，因此||Tx(n)||p|n0|M
||T||M
，由于
的任意性，于是有||T||M成立
综上所述有
||T||M
sup|n|
n
6．我们知道有命题：对于算子序列Tn，若||TnT||0，则x X，||Tnx Tx|| 0
n1 n 1 n 1
m
解：1)2)，已知xn收敛，取smxn，则sm收敛，||sm||收敛于有限数。
n 1 n1
mm
则，y H，| (xn,y)||(xn,y)| |(sm,y)| ||sm|| ||y||
n 1 n 1
所以(xn,y)收敛。n1
2) 3)，已知y H，
(xn,y)收敛，即y H，
解：由于(X , d)是度量空间，所以x,y,z X有：
1)d(x,y)0，因此d1(x, y) min( d (x, y),1) 0
和d2(x, y)d(x,y)0
21 d(x,y)
且当x y时d(x,y)0，
于是d1(x,y) min( d (x, y),1)0和d2(x,y)d(x,y)0
1 d(x,y)
故lim{ (xn, yn) (x,y)}0，即(xn,yn) (x,y)n
4．设X ,Y是线性赋范空间，T :XY是线性算子，则T不是连续的，当且仅当xnX，使得xn0，
但||Txn||
解：设T不是连续的，则T在X上的每一点x0都不是连续的，因此在点x00也不是连续的。则T在 包含X上0点的任何有界邻域内均无界，
另外，如果有xnX，当xn0，有||Txn||
由于在Y上不能找到一点y Y，使得||Ty||，因此对所有的点y Y，均无法使得||Ty||成立，
因此，在条件xn0下，对于所有的点y Y，||Txn||Ty均不成立。所以T在X上的
故T不是连续的。
5．对于每个有界序列(n)，定义线性算子T:lplp，(x1,x2,)|(1x1,2x2, )
泛函分析复习题2012
1．在实数轴
R上，令d(x,y)|
p
x y|，
当p为何值时，
R是度量空间，
p为何值时，R是赋范空间。
解：若
R是度量空间，所以
x,y,z
R，必须有：
d(x,z) d(x,y)
d(y,z)成立
即|x
z|p|x y|p|y
z|p，取
x 1, y 0,z
1，
有2p
1p1p2，所以，
p1