川大2011年泛函分析模拟试题
一、 叙述题
1、 在度量空间(),X ρ中，列紧集、完全有界集的定义及二者之间的关系
列紧集：设A 是度量空间(),X ρ的一个子集，若{}n x A ∀⊂在X 中有一个收敛子列
{}k
n x ，则称A 为列紧集；
完全有界集：M 是度量空间(),X ρ的一个子集，0ε∀>，都存在M 的一个有穷ε网，则称M 为完全有界集。
关系：()A M ⊂列紧集一定是完全有界集，完全有界集不一定是列紧集：但在完备的度量空间中，列紧集与完全有界集等价（即A M ⇔）
2、 在欧式空间n
R 中，有界集、完全有界集和列紧集三者之间的关系；紧集与有界闭
集的关系
在欧式空间n R 中，有界集⇔完全有界集⇔列紧集， 紧集⇔有界闭集 二、
证明题：
1、 线性算子T 在D 上连续⇔T 在D 上有界。
证 充分性：因为T 在D 上有界，故0, T M
x D x M x
∃>∀∈≤成立
，即
Tx T M x θθ
-≤-，故T 在θ点连续，从而T 在D 上连续；
必要性：若T 在D 无界，
0,,..n n n
n x D st Tx n x ∀>∃∈>
令
n n n
x y n x =
，
则
10n n n x y n x n
==→，即0n y →。
又因为T 连
续，
故0n n Ty T Ty θθ=⇒→→，
这与1n
n n
Tx Ty n x =
> 矛
盾，故假设不成立，即T 在D 上有界。
2、 求证(),l X Y 为B 空间。
（其中X 为*
B 空间，Y 为B 空间）
证 显然(),l X Y 是一个线性空间，兹证T 是范数：
()0,000T T T x x X T ≥=⇔=∀∈⇔=；
1212121
2
1
1
1
s u p s u p s u p x x x T T T x T x T x
T x T T
===+=+≤+=+
；
1
1
sup sup x x aT aTx a Tx a T
=====。
再证完备性。
设{}(),n T l X Y ∀⊂为基本列，由0,,,N n N p N ε+
∀>∃∀>∀∈，
有
1
sup n n p n n p x T T T x T x ε++=-=-< ⇒ 0,,,,N n N p N x X ε+∀>∃∀>∀∈∀∈，
有
n n p T x T x x
ε+-<，说明{}n T x 为Y 中的基本列，而Y 为B 空间
()n T x y Y n →∈→∞，记Tx y =。
我们要证(),T l X Y ∈，不难看出T 是线性的，再
证其有界。
事实上，n N ∃∈使得()11n n Tx y T x T x
=≤+≤+ ()
,1x X x ∀∈=
即得
1n T T ≤+ 。
3、 Hilbert 空间X 中的正交投影算子为线性有界算子。
证 设闭线性子空间()M X H ⊂ ，依正交分解定理，x X ∀∈，存在唯一的分解
,y M z M ⊥∈∈，使得 x y z =+。
记 :M P x y X M =→ 称M P 为正交投影算子。
①M P 是线性算子 令
111222M M x P x z x P x z =+⎫
⎬=+⎭
则()1212M M x x P P z z αβαβαβ+=+++
()1212M M M P x x P x P x αβαβ⇒+=+
②有界性 x X ∀∈ 有2
222
M P x
x z x =-≤ ⇒M P x x ≤； 由①和②知，
M P 是有界的线性算子。
三、 S 是由一切序列()12,,,,n x x x x =
⋯⋯组成的集合，在S 中定义距离为
()11,21n n n
n n n
x y x y x y ρ∞
=-=+-∑，求证S 是一个完备的距离空间。
证 先证S 是距离空间：
()11
,021n n n n n n
x y x y x y ρ∞
=-=≥+-∑当且仅当(),0x y x y ρ==时；
()()11,,21n n
n
n n n
x y x y y x x y ρρ∞
=-==+-∑ ()()()1111111
,212111211211
,,21n n n n
n n n n n n n n n
n n n n n n n
n
n n n n
n n n n
n n n n n n n n n
x y x z z y x y x y x z z y x z z y x z x z z y x z z y x z z y z y ρρρ∞
∞==∞∞==∞
=--+-=≤+-+-+-⎛⎫--- ⎪≤+
= ⎪+-+-+-⎝
⎭
-+=++-∑∑∑∑∑ 即S 是一个以ρ为距离的距离空间,记作(),S ρ；
再证距离空间(),S ρ是完备的： 取基本列{}
m x S ⊂若
()()()
()()()()1
1
,021m p m n n
m p m n m p m n n n
x x x x x x ρ+∞
++=-=→+-∑
(当,m p N →∞∀∈),则()
()
,0m p m n n n N x x +∀∈-→(当,m p N →∞∀∈).
于是存在()()**
, m
n n n x x x m →→∞使得当.因此, 0ε∀>,取0n ,使得
1
22
n ε
<,再取N ,使当m N >时有
()*2m n n x x ε
-< ()01,2,,n n =⋯
,
便得到
()()()()()()
0***
1*
1
11
,211122
2
2
m
n n
m n m n n n
n m n n
n n n n n x x x x x x x x m N ρε
ε
ε∞
=∞==+-=
+-≤-+<
+
=>∑
∑
∑当 其中
()****
12,,,,n x x x x =⋯⋯. 于是S 是一个完备的距离空间。
四、 附加题
开映射定理(92P ) 设,X Y 都是B 空间，
若(),T l X Y ∈是一个满射，则T 是开映射。
Hahn —Banach 延拓定理(
110P ) 设X 是*
B 空间，0X 是X 的线性子空间，0f 是定
义在0X 上的有界线性泛函，则在X 上必有有界线性泛函f 满足：
()()(
)()(
)()()000012f x f x x X f f =∀∈=延拓条件；
保范条件，
其中00
f 表示0f 在0X 上的范数。
闭图像定理(98P ) 设,X Y 都是B 空间，若T 是X Y →的闭线性算子，并且()D T 是闭的，则T 是连续的。
共鸣定理(99P ) 设X 是B 空间，Y 是*
B 空间，如果
()(),, s u p A W
W l X Y Ax
x X ∈⊂<∞∀∈使得，那么存在常数M ，使得 ()A M A W ≤∀∈。