江苏省南通市海安县2021届高三期中调研考试
数学
注意事项:
1. 本试卷共150分,考试时间120分钟.
2. 答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数z满足(2+i)z=1-2i,其中i为虚数单位,则z等于()
A. 1
B. -1
C. i
D. -i
2.已知集合A={x|x2-x>0},则∁R A等于()
A. {x|0<x<1}
B. {x|0≤x≤1}
C. {x|x<0或x>1}
D. {x|x≤0或x≥1}
3.在1,2,3,…,2 020这2 020个自然数中,将能被2除余1,且被3除余1的数按从小到大的次序排成一列,构成数列{a n},则a50= ()
A. 289
B. 295
C. 301
D. 307
4.重阳节,农历九月初九,二九相重,谐音是“久久”,有长久之意,人们常在此日感恩敬老,是我国民间的传统节日.某校在重阳节当日安排6位学生到两所敬老院开展志愿服务活动,要求每所敬老院至少安排2人,则不同的分配方案数是()
A. 35
B. 40
C. 50
D. 70
的图象大致为()
5.函数y=2x
x2+x-2
A B
C D
6.某校先后举办定点投篮比赛和定点射门比赛.高三(1)班的45名同学中,只参加了其中一项比赛的同学有20人,两项比赛都没参加的有19人,则两项比赛中参加人数最多的一项比赛人数不可能是()
A. 15
B. 17
C. 21
D. 26
(第7题)
7. 克罗狄斯·托勒密(Ptolemy )所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理,其中涉及如下定理:任意凸四边形中,两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和,当且仅当对角互补时取等号.根据以上材料,完成下题:如图,半圆O 的直径为2,A 为直径延长线上的一点,OA =2,B 为半圆上一点 ,以AB 为一边作等边三角形ABC ,则当线段OC 的长取最大值时,∠AOC 等于
( )
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
8. 已知双曲线x 2a 2-y 2b
2=1(a >0,b >0)的焦点为F 1,F 2,其渐近线上横坐标为12
的点P 满足PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则a 等于 ( ) A. 1
4
B. 12
C. 2
D. 4
二、 多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得5分,部分选对得3分,不选或有错选的得0分. 9. 下列四个函数中,以π为周期,且在区间(π
2
,
3π
4
)上单调递减的是 ( )
A. y =|sin x |
B. y =cos2x
C. y =-tan x
D. y =sin|2x |
10. 若(2x √
x )n
的展开式中第
6项的二项式系数最大,则n 的可能取值为
( )
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12
11. 已知a >0,b >0,且a 2
+b 2
=1,则 ( ) A. a +b ≤√2 B. 1
2<2a -b
<2 C. log 2√a +log 2√b ≥-12
D. a 2
-b 2
>-1
12. 我们知道,任何一个正实数N 都可以表示成N =a ×10n
(1≤a <10,n ∈Z ).定
义:W (N )={N 的整数部分的位数,n ≥0,N 的非有效数字0的个数,n <0,
如:W (1.2×102)=3,W (1.23×10)=2,W (3×10-2
)=2,W (3.001×10-1
)=1,则下列说法中正确的是 ( )
A. 当n >0,M >1,N >1时,W (M ·N )=W (M )+W (N )
B. 当n <0时,W (M )=-n
C. 若N =2100
,lg2≈0.301,则W (N )=31
D. 当k ∈N *
时,W (2k
)=W (2-k
)
三、 填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 已知抛物线y 2
=2px (p >0)上横坐标为1的点到焦点的距离为5
2,则p = .
14. 已知某品牌的新能源汽车的使用年限x (单位:年)与维护费用y (单位:千元)之间有如下数据:
使用年限x (单位:年) 2 4 5 6 8 维护费用y (单位:千元)
3
4.5
6.5
7.5
9
x 与y 之间具有线性相关关系,且y 关于x 的线性回归方程为y =1.05x +a (a 为常数).据此估计,当使用年限为
7年时,维护费用约为 千元.
(参考公式:线性回归方程y =bx +a 中的系数b =
∑i=1
n
(x i -x )(y i -y )
∑i=1
n
(x i -x )
2
,a =y -bx)
(第15题)
15. 如图,水平广场上有一盏路灯挂在10 m 长的电线杆上,记电线杆的底部为点A.把路灯看作一个点光源,身高1.5 m 的女孩站在离点A 5 m 的点B 处.若女孩向点A 前行4 m 到达点D ,然后从点D 出发,沿着以BD 为对角线的正方形走一圈,则女孩走一圈时头顶(视为一点)的影子所围成封闭图形的面积为 m 2
.
16. 已知在三棱锥P -ABC 中,PA ,PB ,PC 两两垂直,且PA =PB =PC =1,以P 为球心,√2
2
为半径的球面与该三棱锥表面
的交线的长度之和为 .
四、 解答题:本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分10分)已知公比q 大于1的等比数列{a n }满足a 1+a 3=10,a 2=4.
(1) 求{a n }的通项公式;
(2) 设b n = ,求数列{b n }的前n 项和S n .请在①n ·a n ;②|2log 2a n -9|;③a n
(2n
+1)(2n+1+1)
这
三个条件中选择一个,补充在上面的横线上,并完成解答. 注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.
18. (本小题满分12分)在△ABC 中,设角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且(c -b )sin C =(a -b )(sin A +sin B ).
(1) 求角A 的大小;
(2)若b=2,且△ABC为锐角三角形,求△ABC的面积S的取值范围.
19.(本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB∥CD,AD⊥
CD,AB=AD=1,CD=2,PD⊥平面ABCD.
(1)求证:BC⊥平面PBD;
(2)已知PD=2,点E为棱PB的中点,求直线AE与平面DCE所成角的正弦值.
(第19题)
20.(本小题满分12分)根据历史资料显示,某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%.为试验一种新药,在有关部门批准后,医院将此药给10位病人服用,试验方案为:若这10人中至少有2人痊愈,则认为该药有效,提高了治愈率;否则,则认为该药无效.
(1)如果在该次试验中有5人痊愈,院方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解服药期间的感受,记抽到痊愈的人的个数为X,求X的概率分布及数学期望;
(2)如果新药有效,将治愈率提高到了50%,求通过试验却认定新药无效的概率p,并根据p的值解释该试验方案的合理性.
(参考结论:通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件)
21.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:x 2
a2+y
2
b2
=1(a>b>0)的离心率为√2
2
,
且经过点A(1,√2).
(1)求椭圆C的方程;
(2)设F为椭圆C的右焦点,直线l与椭圆C相切于点P(点P在第一象限),过原点O作直线l 的平行线与直线PF相交于点Q,问:线段PQ的长是否为定值?若是,求出定值;若不是,请说明理由.
22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=a e x+1,g(x)=ln x a-1,其中a>0.
(1)若a=1,在平面直角坐标系xOy中,过坐标原点O分别作函数y=f(x)与y=g(x)的图象的切线l1,l2,求l1,l2的斜率之积;
(2)若f(x)≥g(x)在区间(0,+∞)上恒成立,求a的最小值.。